Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 x {(x + 4)}^{2}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali ${(x + 4)}^{2}$ sebagai $(x + 4) (x + 4)$ .

$\frac{d}{d x} [3 x ((x + 4) (x + 4))]$

Langkah 1.2

Perluas $(x + 4) (x + 4)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [3 x (x (x + 4) + 4 (x + 4))]$

Langkah 1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [3 x (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4))]$

Langkah 1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [3 x (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)]$

Langkah 1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)]$

Langkah 1.3.1.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4)]$

Langkah 1.3.1.3

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + 4 x + 4 x + 16)]$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $4 x$ dan $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + 8 x + 16)]$

Langkah 1.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x (x^{2} + 8 x + 16)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 8 x + 16)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 8 x + 16)]$

Langkah 1.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x^{2} + 8 x + 16$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 16] + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.6

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 8 x + 16$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$3 (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 (x (2 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.6.3

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x (2 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.6.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 (x (2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.6.5

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$3 (x (2 x + 8 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.6.6

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $16$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 (x (2 x + 8 + 0) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.6.7

Tambahkan $2 x + 8$ dan $0$ .

$3 (x (2 x + 8) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.6.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 (x (2 x + 8) + (x^{2} + 8 x + 16) \cdot 1)$

Langkah 1.6.9

Kalikan $x^{2} + 8 x + 16$ dengan $1$ .

$3 (x (2 x + 8) + x^{2} + 8 x + 16)$

Langkah 1.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Terapkan sifat distributif.

$3 (x (2 x) + x \cdot 8 + x^{2} + 8 x + 16)$

Langkah 1.7.2

Terapkan sifat distributif.

$3 (x (2 x)) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Langkah 1.7.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$3 (2 (x^{1} x)) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Langkah 1.7.3.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$3 (2 (x^{1} x^{1})) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Langkah 1.7.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 (2 x^{1 + 1}) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Langkah 1.7.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$3 (2 x^{2}) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Langkah 1.7.3.5

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 x^{2} + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Langkah 1.7.3.6

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $x$ .

$6 x^{2} + 3 (8 \cdot x) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Langkah 1.7.3.7

Kalikan $8$ dengan $3$ .

$6 x^{2} + 24 x + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Langkah 1.7.3.8

Tambahkan $6 x^{2}$ dan $3 x^{2}$ .

$9 x^{2} + 24 x + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Langkah 1.7.3.9

Kalikan $8$ dengan $3$ .

$9 x^{2} + 24 x + 24 x + 3 \cdot 16$

Langkah 1.7.3.10

Tambahkan $24 x$ dan $24 x$ .

$9 x^{2} + 48 x + 3 \cdot 16$

Langkah 1.7.3.11

Kalikan $3$ dengan $16$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 48 x + 48$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $9 x^{2} + 48 x + 48$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$18 x + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $48$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $48 x$ terhadap $x$ adalah $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 x + 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [48]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$18 x + 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [48]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $48$ dengan $1$ .

$18 x + 48 + \frac{d}{d x} [48]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $48$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $48$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$18 x + 48 + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $18 x + 48$ dan $0$ .

$f'' (x) = 18 x + 48$

Langkah 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $18 x + 48$ .

$18 x + 48$