Kalkulus Contoh

$h (z) = (3 - z) (z^{3} - 2 z + 4)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ adalah $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ di mana $f (z) = 3 - z$ dan $g (z) = z^{3} - 2 z + 4$ .

$(3 - z) \frac{d}{d z} [z^{3} - 2 z + 4] + (z^{3} - 2 z + 4) \frac{d}{d z} [3 - z]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $z^{3} - 2 z + 4$ terhadap $z$ adalah $\frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- 2 z] + \frac{d}{d z} [4]$ .

$(3 - z) (\frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- 2 z] + \frac{d}{d z} [4]) + (z^{3} - 2 z + 4) \frac{d}{d z} [3 - z]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ adalah $n z^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$(3 - z) (3 z^{2} + \frac{d}{d z} [- 2 z] + \frac{d}{d z} [4]) + (z^{3} - 2 z + 4) \frac{d}{d z} [3 - z]$

Langkah 1.2.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $z$ , turunan dari $- 2 z$ terhadap $z$ adalah $- 2 \frac{d}{d z} [z]$ .

$(3 - z) (3 z^{2} - 2 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [4]) + (z^{3} - 2 z + 4) \frac{d}{d z} [3 - z]$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ adalah $n z^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(3 - z) (3 z^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [4]) + (z^{3} - 2 z + 4) \frac{d}{d z} [3 - z]$

Langkah 1.2.5

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$(3 - z) (3 z^{2} - 2 + \frac{d}{d z} [4]) + (z^{3} - 2 z + 4) \frac{d}{d z} [3 - z]$

Langkah 1.2.6

Karena $4$ konstan terhadap $z$ , turunan dari $4$ terhadap $z$ adalah $0$ .

$(3 - z) (3 z^{2} - 2 + 0) + (z^{3} - 2 z + 4) \frac{d}{d z} [3 - z]$

Langkah 1.2.7

Tambahkan $3 z^{2} - 2$ dan $0$ .

$(3 - z) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 4) \frac{d}{d z} [3 - z]$

Langkah 1.2.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 - z$ terhadap $z$ adalah $\frac{d}{d z} [3] + \frac{d}{d z} [- z]$ .

$(3 - z) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 4) (\frac{d}{d z} [3] + \frac{d}{d z} [- z])$

Langkah 1.2.9

Karena $3$ konstan terhadap $z$ , turunan dari $3$ terhadap $z$ adalah $0$ .

$(3 - z) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 4) (0 + \frac{d}{d z} [- z])$

Langkah 1.2.10

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d z} [- z]$ .

$(3 - z) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 4) \frac{d}{d z} [- z]$

Langkah 1.2.11

Karena $- 1$ konstan terhadap $z$ , turunan dari $- z$ terhadap $z$ adalah $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$(3 - z) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 4) (- \frac{d}{d z} [z])$

Langkah 1.2.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ adalah $n z^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(3 - z) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 4) (- 1 \cdot 1)$

Langkah 1.2.13

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.13.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$(3 - z) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 4) \cdot - 1$

Langkah 1.2.13.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $z^{3} - 2 z + 4$ .

$(3 - z) (3 z^{2} - 2) - 1 \cdot (z^{3} - 2 z + 4)$

Langkah 1.2.13.3

Tulis kembali $- 1 (z^{3} - 2 z + 4)$ sebagai $- (z^{3} - 2 z + 4)$ .

$(3 - z) (3 z^{2} - 2) - (z^{3} - 2 z + 4)$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$(3 - z) (3 z^{2} - 2) - z^{3} - (- 2 z) - 1 \cdot 4$

Langkah 1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$(3 - z) (3 z^{2}) + (3 - z) \cdot - 2 - z^{3} - (- 2 z) - 1 \cdot 4$

Langkah 1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$3 (3 z^{2}) - z (3 z^{2}) + (3 - z) \cdot - 2 - z^{3} - (- 2 z) - 1 \cdot 4$

Langkah 1.3.4

Terapkan sifat distributif.

$3 (3 z^{2}) - z (3 z^{2}) + 3 \cdot - 2 - z \cdot - 2 - z^{3} - (- 2 z) - 1 \cdot 4$

Langkah 1.3.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$9 z^{2} - z (3 z^{2}) + 3 \cdot - 2 - z \cdot - 2 - z^{3} - (- 2 z) - 1 \cdot 4$

Langkah 1.3.5.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$9 z^{2} - 3 z \cdot z^{2} + 3 \cdot - 2 - z \cdot - 2 - z^{3} - (- 2 z) - 1 \cdot 4$

Langkah 1.3.5.3

Kalikan $z$ dengan $z^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.3.1

Pindahkan $z^{2}$ .

$9 z^{2} - 3 (z^{2} z) + 3 \cdot - 2 - z \cdot - 2 - z^{3} - (- 2 z) - 1 \cdot 4$

Langkah 1.3.5.3.2

Kalikan $z^{2}$ dengan $z$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.3.2.1

Naikkan $z$ menjadi pangkat $1$ .

$9 z^{2} - 3 (z^{2} z^{1}) + 3 \cdot - 2 - z \cdot - 2 - z^{3} - (- 2 z) - 1 \cdot 4$

Langkah 1.3.5.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$9 z^{2} - 3 z^{2 + 1} + 3 \cdot - 2 - z \cdot - 2 - z^{3} - (- 2 z) - 1 \cdot 4$

Langkah 1.3.5.3.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$9 z^{2} - 3 z^{3} + 3 \cdot - 2 - z \cdot - 2 - z^{3} - (- 2 z) - 1 \cdot 4$

Langkah 1.3.5.4

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$9 z^{2} - 3 z^{3} - 6 - z \cdot - 2 - z^{3} - (- 2 z) - 1 \cdot 4$

Langkah 1.3.5.5

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$9 z^{2} - 3 z^{3} - 6 + 2 z - z^{3} - (- 2 z) - 1 \cdot 4$

Langkah 1.3.5.6

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$9 z^{2} - 3 z^{3} - 6 + 2 z - z^{3} + 2 z - 1 \cdot 4$

Langkah 1.3.5.7

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$9 z^{2} - 3 z^{3} - 6 + 2 z - z^{3} + 2 z - 4$

Langkah 1.3.5.8

Kurangi $z^{3}$ dengan $- 3 z^{3}$ .

$9 z^{2} - 4 z^{3} - 6 + 2 z + 2 z - 4$

Langkah 1.3.5.9

Tambahkan $2 z$ dan $2 z$ .

$9 z^{2} - 4 z^{3} - 6 + 4 z - 4$

Langkah 1.3.5.10

Kurangi $4$ dengan $- 6$ .

$9 z^{2} - 4 z^{3} + 4 z - 10$

Langkah 1.3.6

Susun kembali suku-suku.

$f' (z) = - 4 z^{3} + 9 z^{2} + 4 z - 10$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 4 z^{3} + 9 z^{2} + 4 z - 10$ terhadap $z$ adalah $\frac{d}{d z} [- 4 z^{3}] + \frac{d}{d z} [9 z^{2}] + \frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [- 10]$ .

$\frac{d}{d z} [- 4 z^{3}] + \frac{d}{d z} [9 z^{2}] + \frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [- 10]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d z} [- 4 z^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $z$ , turunan dari $- 4 z^{3}$ terhadap $z$ adalah $- 4 \frac{d}{d z} [z^{3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [9 z^{2}] + \frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [- 10]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ adalah $n z^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- 4 (3 z^{2}) + \frac{d}{d z} [9 z^{2}] + \frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [- 10]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $3$ dengan $- 4$ .

$- 12 z^{2} + \frac{d}{d z} [9 z^{2}] + \frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [- 10]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d z} [9 z^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $9$ konstan terhadap $z$ , turunan dari $9 z^{2}$ terhadap $z$ adalah $9 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$- 12 z^{2} + 9 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [- 10]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ adalah $n z^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 12 z^{2} + 9 (2 z) + \frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [- 10]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$- 12 z^{2} + 18 z + \frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [- 10]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d z} [4 z]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $4$ konstan terhadap $z$ , turunan dari $4 z$ terhadap $z$ adalah $4 \frac{d}{d z} [z]$ .

$- 12 z^{2} + 18 z + 4 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 10]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ adalah $n z^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 12 z^{2} + 18 z + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- 10]$

Langkah 2.4.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$- 12 z^{2} + 18 z + 4 + \frac{d}{d z} [- 10]$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Karena $- 10$ konstan terhadap $z$ , turunan dari $- 10$ terhadap $z$ adalah $0$ .

$- 12 z^{2} + 18 z + 4 + 0$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $- 12 z^{2} + 18 z + 4$ dan $0$ .

$f'' (z) = - 12 z^{2} + 18 z + 4$

Langkah 3

Turunan kedua dari $h (z)$ terhadap $z$ adalah $- 12 z^{2} + 18 z + 4$ .

$- 12 z^{2} + 18 z + 4$