Kalkulus Contoh

$f (x) = x + \frac{1}{x} + \sqrt{x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + \frac{1}{x} + \sqrt{x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$1 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$1 - x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Langkah 1.3.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$1 - x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Langkah 1.3.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$1 - x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Langkah 1.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$1 - x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Langkah 1.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$1 - x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Langkah 1.3.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$1 - x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Langkah 1.3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$1 - x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 1.5

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.6.2

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{1}{x^{2}} + 1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = - 1$ dan $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2}}$ sebagai ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{2}$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2}$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2.2.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2.2.6

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2.2.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$- (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2.2.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2.2.8

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2.2.9

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2.2.10

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2.2.11

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2.2.12

Kalikan $\frac{1}{x^{2}}$ dengan $0$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2.2.13

Tambahkan $2 x^{- 3}$ dan $0$ .

$2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2.4.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ sebagai ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Langkah 2.4.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 2.4.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 2.4.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 2.4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Langkah 2.4.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Langkah 2.4.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Langkah 2.4.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Langkah 2.4.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Langkah 2.4.6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Langkah 2.4.7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Langkah 2.4.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Langkah 2.4.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Langkah 2.4.9.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Langkah 2.4.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Langkah 2.4.11

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Langkah 2.4.12

Gabungkan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ dan $x^{- 1}$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Langkah 2.4.13

Kalikan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan $x^{- 1}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.13.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Langkah 2.4.13.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Langkah 2.4.13.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Langkah 2.4.13.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Langkah 2.4.13.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.13.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Langkah 2.4.13.5.2

Kurangi $2$ dengan $- 1$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Langkah 2.4.13.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Langkah 2.4.14

Pindahkan $x^{- \frac{3}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Langkah 2.4.15

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$2 x^{- 3} + 0 - \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}$

Langkah 2.4.16

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$2 x^{- 3} + 0 - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{3}} + 0 - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}} + 0 - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2.5.2.2

Tambahkan $\frac{2}{x^{3}}$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$