Kalkulus Contoh

$V (t) = A e^{k t} \sin (b t)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $A$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $A e^{k t} \sin (b t)$ terhadap $t$ adalah $A \frac{d}{d t} [e^{k t} \sin (b t)]$ .

$A \frac{d}{d t} [e^{k t} \sin (b t)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ adalah $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ di mana $f (t) = e^{k t}$ dan $g (t) = \sin (b t)$ .

$A (e^{k t} \frac{d}{d t} [\sin (b t)] + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = \sin (t)$ dan $g (t) = b t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $b t$ .

$A (e^{k t} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Langkah 1.3.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$A (e^{k t} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Langkah 1.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $b t$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Langkah 1.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $b$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $b t$ terhadap $t$ adalah $b \frac{d}{d t} [t]$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) (b \frac{d}{d t} [t])) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Langkah 1.4.3

Kalikan $b$ dengan $1$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Langkah 1.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = e^{t}$ dan $g (t) = k t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $k t$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [k t]))$

Langkah 1.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [k t]))$

Langkah 1.5.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $k t$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} \frac{d}{d t} [k t]))$

Langkah 1.6

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Karena $k$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $k t$ terhadap $t$ adalah $k \frac{d}{d t} [t]$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} (k \frac{d}{d t} [t])))$

Langkah 1.6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} (k \cdot 1)))$

Langkah 1.6.3

Kalikan $k$ dengan $1$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} k))$

Langkah 1.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Terapkan sifat distributif.

$A (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A (\sin (b t) (e^{k t} k))$

Langkah 1.7.2

Hilangkan tanda kurung.

$A e^{k t} (\cos (b t) b) + A \sin (b t) (e^{k t} k)$

Langkah 1.7.3

Susun kembali suku-suku.

$e^{k t} A b \cos (b t) + e^{k t} A k \sin (b t)$

Langkah 1.7.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{k t} A b \cos (b t) + e^{k t} A k \sin (b t)$ .

$f' (t) = A b e^{k t} \cos (b t) + A k e^{k t} \sin (b t)$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $A b e^{k t} \cos (b t) + A k e^{k t} \sin (b t)$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [A b e^{k t} \cos (b t)] + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$ .

$\frac{d}{d t} [A b e^{k t} \cos (b t)] + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d t} [A b e^{k t} \cos (b t)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $A b$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $A b e^{k t} \cos (b t)$ terhadap $t$ adalah $A b \frac{d}{d t} [e^{k t} \cos (b t)]$ .

$A b \frac{d}{d t} [e^{k t} \cos (b t)] + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Langkah 2.2.2

$A b (e^{k t} \frac{d}{d t} [\cos (b t)] + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = \cos (t)$ dan $g (t) = b t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $b t$ .

$A b (e^{k t} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [b t]) + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Langkah 2.2.3.2

Turunan dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \sin (u_{1})$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [b t]) + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Langkah 2.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $b t$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) \frac{d}{d t} [b t]) + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Langkah 2.2.4

Karena $b$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $b t$ terhadap $t$ adalah $b \frac{d}{d t} [t]$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \frac{d}{d t} [t])) + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Langkah 2.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Langkah 2.2.6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = e^{t}$ dan $g (t) = k t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $k t$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [k t])) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Langkah 2.2.6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [k t])) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Langkah 2.2.6.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $k t$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) (e^{k t} \frac{d}{d t} [k t])) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Langkah 2.2.7

Karena $k$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $k t$ terhadap $t$ adalah $k \frac{d}{d t} [t]$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) (e^{k t} (k \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Langkah 2.2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) (e^{k t} (k \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Langkah 2.2.9

Kalikan $b$ dengan $1$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} (k \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Langkah 2.2.10

Kalikan $k$ dengan $1$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $A k$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $A k e^{k t} \sin (b t)$ terhadap $t$ adalah $A k \frac{d}{d t} [e^{k t} \sin (b t)]$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k \frac{d}{d t} [e^{k t} \sin (b t)]$

Langkah 2.3.2

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} \frac{d}{d t} [\sin (b t)] + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = \sin (t)$ dan $g (t) = b t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{3}$ sebagai $b t$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Langkah 2.3.3.2

Turunan dari $\sin (u_{3})$ terhadap $u_{3}$ adalah $\cos (u_{3})$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Langkah 2.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan $b t$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Langkah 2.3.4

Karena $b$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $b t$ terhadap $t$ adalah $b \frac{d}{d t} [t]$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \frac{d}{d t} [t])) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Langkah 2.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Langkah 2.3.6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = e^{t}$ dan $g (t) = k t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{4}$ sebagai $k t$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) (\frac{d}{d u_{4}} [e^{u_{4}}] \frac{d}{d t} [k t]))$

Langkah 2.3.6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ adalah $a^{u_{4}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) (e^{u_{4}} \frac{d}{d t} [k t]))$

Langkah 2.3.6.3

Ganti semua kemunculan $u_{4}$ dengan $k t$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) (e^{k t} \frac{d}{d t} [k t]))$

Langkah 2.3.7

Karena $k$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $k t$ terhadap $t$ adalah $k \frac{d}{d t} [t]$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) (e^{k t} (k \frac{d}{d t} [t])))$

Langkah 2.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) (e^{k t} (k \cdot 1)))$

Langkah 2.3.9

Kalikan $b$ dengan $1$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} (k \cdot 1)))$

Langkah 2.3.10

Kalikan $k$ dengan $1$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} k))$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b)) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} k))$

Langkah 2.4.2

Terapkan sifat distributif.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b)) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k (\sin (b t) (e^{k t} k))$

Langkah 2.4.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Naikkan $b$ menjadi pangkat $1$ .

$A (b^{1} b) (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k (\sin (b t) (e^{k t} k))$

Langkah 2.4.3.2

Naikkan $b$ menjadi pangkat $1$ .

$A (b^{1} b^{1}) (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k (\sin (b t) (e^{k t} k))$

Langkah 2.4.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$A b^{1 + 1} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k (\sin (b t) (e^{k t} k))$

Langkah 2.4.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k (\sin (b t) (e^{k t} k))$

Langkah 2.4.3.5

Naikkan $k$ menjadi pangkat $1$ .

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A (k^{1} k) (\sin (b t) (e^{k t}))$

Langkah 2.4.3.6

Naikkan $k$ menjadi pangkat $1$ .

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A (k^{1} k^{1}) (\sin (b t) (e^{k t}))$

Langkah 2.4.3.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k^{1 + 1} (\sin (b t) (e^{k t}))$

Langkah 2.4.3.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k^{2} (\sin (b t) (e^{k t}))$

Langkah 2.4.3.9

Susun kembali $k$ dan $b$ .

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + b k A e^{k t} \cos (b t) + b k A e^{k t} \cos (b t) + A k^{2} (\sin (b t) (e^{k t}))$

Langkah 2.4.3.10

Tambahkan $b k A e^{k t} \cos (b t)$ dan $b k A e^{k t} \cos (b t)$ .

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + 2 b k A e^{k t} \cos (b t) + A k^{2} (\sin (b t) (e^{k t}))$

Langkah 2.4.4

Susun kembali suku-suku.

$- e^{k t} b^{2} A \sin (b t) + 2 e^{k t} A b k \cos (b t) + e^{k t} k^{2} A \sin (b t)$

Langkah 2.4.5

Susun kembali faktor-faktor dalam $- e^{k t} b^{2} A \sin (b t) + 2 e^{k t} A b k \cos (b t) + e^{k t} k^{2} A \sin (b t)$ .

$f'' (t) = - b^{2} A e^{k t} \sin (b t) + 2 A b k e^{k t} \cos (b t) + k^{2} A e^{k t} \sin (b t)$

Langkah 3

Turunan kedua dari $V (t)$ terhadap $t$ adalah $- b^{2} A e^{k t} \sin (b t) + 2 A b k e^{k t} \cos (b t) + k^{2} A e^{k t} \sin (b t)$ .

$- b^{2} A e^{k t} \sin (b t) + 2 A b k e^{k t} \cos (b t) + k^{2} A e^{k t} \sin (b t)$