Kalkulus Contoh

$f (x) = (4 x^{2} + 3 x) \cos (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = 4 x^{2} + 3 x$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

$(4 x^{2} + 3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x]$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{2} + 3 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Langkah 1.3.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x])$

Langkah 1.3.4

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + \frac{d}{d x} [3 x])$

Langkah 1.3.5

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 3 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 3 \cdot 1)$

Langkah 1.3.7

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 3)$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$4 x^{2} (- \sin (x)) + 3 x (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 3)$

Langkah 1.4.2

Terapkan sifat distributif.

$4 x^{2} (- \sin (x)) + 3 x (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x) + \cos (x) \cdot 3$

Langkah 1.4.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$- 4 x^{2} \sin (x) + 3 x (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x) + \cos (x) \cdot 3$

Langkah 1.4.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 4 x^{2} \sin (x) - 3 x \sin (x) + \cos (x) (8 x) + \cos (x) \cdot 3$

Langkah 1.4.3.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\cos (x)$ .

$- 4 x^{2} \sin (x) - 3 x \sin (x) + \cos (x) (8 x) + 3 \cos (x)$

Langkah 1.4.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - 4 x^{2} \sin (x) - 3 x \sin (x) + 8 x \cos (x) + 3 \cos (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 4 x^{2} \sin (x) - 3 x \sin (x) + 8 x \cos (x) + 3 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x^{2} \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$- 4 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.2.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.3.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.3.5

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [8 x \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.4.2

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.4.3

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.4.5

Kalikan $\cos (x)$ dengan $1$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 2.5.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 3 (- \sin (x))$

Langkah 2.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \sin (x)$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$- 4 (x^{2} \cos (x)) - 4 (\sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \sin (x)$

Langkah 2.6.2

Terapkan sifat distributif.

$- 4 (x^{2} \cos (x)) - 4 (\sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x)) - 3 \sin (x) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \sin (x)$

Langkah 2.6.3

Terapkan sifat distributif.

$- 4 (x^{2} \cos (x)) - 4 (\sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x)) - 3 \sin (x) + 8 (x (- \sin (x))) + 8 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Langkah 2.6.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.4.1

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$- 4 x^{2} \cos (x) - 8 (\sin (x) (x)) - 3 (x \cos (x)) - 3 \sin (x) + 8 (x (- \sin (x))) + 8 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Langkah 2.6.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$- 4 x^{2} \cos (x) - 8 \sin (x) x - 3 x \cos (x) - 3 \sin (x) - 8 (x (\sin (x))) + 8 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Langkah 2.6.4.3

Kurangi $8 x \sin (x)$ dengan $- 8 \sin (x) x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.4.3.1

Pindahkan $\sin (x)$ .

$- 4 x^{2} \cos (x) - 8 x \sin (x) - 8 x \sin (x) - 3 x \cos (x) - 3 \sin (x) + 8 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Langkah 2.6.4.3.2

Kurangi $8 x \sin (x)$ dengan $- 8 x \sin (x)$ .

$- 4 x^{2} \cos (x) - 16 x \sin (x) - 3 x \cos (x) - 3 \sin (x) + 8 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Langkah 2.6.4.4

Kurangi $3 \sin (x)$ dengan $- 3 \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} \cos (x) - 16 x \sin (x) - 3 x \cos (x) - 6 \sin (x) + 8 \cos (x)$

Langkah 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 4 x^{2} \cos (x) - 16 x \sin (x) - 3 x \cos (x) - 6 \sin (x) + 8 \cos (x)$ .

$- 4 x^{2} \cos (x) - 16 x \sin (x) - 3 x \cos (x) - 6 \sin (x) + 8 \cos (x)$