Kalkulus Contoh

$\frac{y^{2} + 6 y + 9}{{(y^{2} + 9)}^{2}}$

Langkah 1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{y^{2} + 6 y + 3^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$6 y = 2 \cdot y \cdot 3$

Langkah 1.1.3

Tulis kembali polinomialnya.

$\frac{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}}$

Langkah 1.1.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = y$ dan $b = 3$ .

$\frac{{(y + 3)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}}$

Langkah 1.2

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. Karena faktornya adalah urutan ke-2, $2$ suku diperlukan pada pembilangnya. Jumlah suku yang diperlukan pada pembilang selalu sama dengan urutan faktor pada penyebutnya.

$\frac{A y + B}{{(y^{2} + 9)}^{2}}$

Langkah 1.3

$\frac{A y + B}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{C y + D}{y^{2} + 9}$

Langkah 1.4

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah ${(y^{2} + 9)}^{2}$ .

$\frac{{(y + 3)}^{2} {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Langkah 1.5

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(y^{2} + 9)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{(y + 3)}^{2} {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Langkah 1.5.1.2

Bagilah ${(y + 3)}^{2}$ dengan $1$ .

${(y + 3)}^{2} = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Langkah 1.5.2

Tulis kembali ${(y + 3)}^{2}$ sebagai $(y + 3) (y + 3)$ .

$(y + 3) (y + 3) = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Langkah 1.6

Perluas $(y + 3) (y + 3)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Terapkan sifat distributif.

$y (y + 3) + 3 (y + 3) = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Langkah 1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$y \cdot y + y \cdot 3 + 3 (y + 3) = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Langkah 1.6.3

Terapkan sifat distributif.

$y \cdot y + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3 = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Langkah 1.7

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$y^{2} + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3 = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Langkah 1.7.1.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y$ .

$y^{2} + 3 \cdot y + 3 y + 3 \cdot 3 = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Langkah 1.7.1.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$y^{2} + 3 y + 3 y + 9 = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Langkah 1.7.2

Tambahkan $3 y$ dan $3 y$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Langkah 1.8

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(y^{2} + 9)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} + 6 y + 9 = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Langkah 1.8.1.2

Bagilah $A y + B$ dengan $1$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Langkah 1.8.2

Hapus faktor persekutuan dari ${(y^{2} + 9)}^{2}$ dan $y^{2} + 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.2.1

Faktorkan $y^{2} + 9$ dari $(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + \frac{(y^{2} + 9) ((C y + D) (y^{2} + 9))}{y^{2} + 9}$

Langkah 1.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + \frac{(y^{2} + 9) ((C y + D) (y^{2} + 9))}{(y^{2} + 9) \cdot 1}$

Langkah 1.8.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + \frac{(y^{2} + 9) ((C y + D) (y^{2} + 9))}{(y^{2} + 9) \cdot 1}$

Langkah 1.8.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + \frac{(C y + D) (y^{2} + 9)}{1}$

Langkah 1.8.2.2.4

Bagilah $(C y + D) (y^{2} + 9)$ dengan $1$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + (C y + D) (y^{2} + 9)$

Langkah 1.8.3

Perluas $(C y + D) (y^{2} + 9)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.3.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + C y (y^{2} + 9) + D (y^{2} + 9)$

Langkah 1.8.3.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + C y \cdot y^{2} + C y \cdot 9 + D (y^{2} + 9)$

Langkah 1.8.3.3

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + C y \cdot y^{2} + C y \cdot 9 + D y^{2} + D \cdot 9$

Langkah 1.8.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.4.1

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.4.1.1

Pindahkan $y^{2}$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + C (y^{2} y) + C y \cdot 9 + D y^{2} + D \cdot 9$

Langkah 1.8.4.1.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.4.1.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + C (y^{2} y) + C y \cdot 9 + D y^{2} + D \cdot 9$

Langkah 1.8.4.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + C y^{2 + 1} + C y \cdot 9 + D y^{2} + D \cdot 9$

Langkah 1.8.4.1.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + C y^{3} + C y \cdot 9 + D y^{2} + D \cdot 9$

Langkah 1.8.4.2

Pindahkan $9$ ke sebelah kiri $C y$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + C y^{3} + 9 \cdot (C y) + D y^{2} + D \cdot 9$

Langkah 1.8.4.3

Pindahkan $9$ ke sebelah kiri $D$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + C y^{3} + 9 C y + D y^{2} + 9 D$

Langkah 1.9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.9.1

Pindahkan $B$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + C y^{3} + 9 C y + D y^{2} + B + 9 D$

Langkah 1.9.2

Pindahkan $9 C y$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + C y^{3} + D y^{2} + 9 C y + B + 9 D$

Langkah 1.9.3

Pindahkan $A y$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = C y^{3} + D y^{2} + A y + 9 C y + B + 9 D$

Langkah 2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $y^{3}$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = C$

Langkah 2.2

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $y^{2}$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = D$

Langkah 2.3

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $y$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$6 = A + 9 C$

Langkah 2.4

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $y$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$9 = B + 9 D$

Langkah 2.5

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$0 = C$

$1 = D$

$6 = A + 9 C$

$9 = B + 9 D$

$0 = C$

$1 = D$

$6 = A + 9 C$

$9 = B + 9 D$

Langkah 3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C = 0$ .

$C = 0$

$1 = D$

$6 = A + 9 C$

$9 = B + 9 D$

Langkah 3.2

Substitusikan semua kemunculan $C$ dengan $0$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $D = 1$ .

$D = 1$

$C = 0$

$6 = A + 9 C$

$9 = B + 9 D$

Langkah 3.2.2

Substitusikan semua kemunculan $C$ dalam $6 = A + 9 C$ dengan $0$ .

$6 = A + 9 (0)$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Sederhanakan $A + 9 (0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1.1

Kalikan $9$ dengan $0$ .

$6 = A + 0$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

Langkah 3.2.3.1.2

Tambahkan $A$ dan $0$ .

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

Langkah 3.3

Substitusikan semua kemunculan $D$ dengan $1$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A = 6$ .

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

Langkah 3.3.2

Substitusikan semua kemunculan $D$ dalam $9 = B + 9 D$ dengan $1$ .

$9 = B + 9 (1)$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$9 = B + 9$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Langkah 3.4

Selesaikan $B$ dalam $9 = B + 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $B + 9 = 9$ .

$B + 9 = 9$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Langkah 3.4.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $B$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Kurangkan $9$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$B = 9 - 9$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Langkah 3.4.2.2

Kurangi $9$ dengan $9$ .

$B = 0$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$B = 0$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$B = 0$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Langkah 3.5

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

$B = 0 A = 6 D = 1 C = 0$

Langkah 3.6

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$B = 0, A = 6, D = 1, C = 0$

Langkah 4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A y + B}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{C y + D}{y^{2} + 9}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ , $B$ , $C$ , dan $D$ .

$\frac{6 y + 0}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{0 y + 1}{y^{2} + 9}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tambahkan $(6) \cdot y$ dan $0$ .

$\frac{6 y}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(0) \cdot y + 1}{y^{2} + 9}$

Langkah 5.2

Kalikan $0$ dengan $y$ .

$\frac{6 y}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{0 + 1}{y^{2} + 9}$

Langkah 5.3

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{6 y}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{1}{y^{2} + 9}$