Kalkulus Contoh

$\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ tidak terdefinisi.

$- \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$

Langkah 2

Karena $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ dari kiri dan $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ dari kanan, maka $x = - \frac{1}{2}$ adalah asimtot tegak.

$x = - \frac{1}{2}$

Langkah 3

Karena $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $\frac{1}{2}$ dari kiri dan $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $\frac{1}{2}$ dari kanan, maka $x = \frac{1}{2}$ adalah asimtot tegak.

$x = \frac{1}{2}$

Langkah 4

Sebutkan semua asimtot tegaknya:

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

Langkah 5

Evaluasi $lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ untuk mencari asimtot datarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis kembali $4 x^{2}$ sebagai ${(2 x)}^{2}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{{(2 x)}^{2} - 1}}$

Langkah 5.2.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{{(2 x)}^{2} - 1^{2}}}$

Langkah 5.2.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 2 x$ dan $b = 1$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{(2 x + 1) (2 x - 1)}}$

Langkah 5.3

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Langkah 5.4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Langkah 5.4.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Langkah 5.4.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Langkah 5.4.4

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Langkah 5.5

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Langkah 5.5.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Langkah 5.5.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Langkah 5.5.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Langkah 5.5.1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.2.4.1

Pindahkan $x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Langkah 5.5.1.2.4.2

Pindahkan $x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Langkah 5.5.1.2.4.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Langkah 5.5.1.2.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{1} x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Langkah 5.5.1.2.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{1} x^{1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Langkah 5.5.1.2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Langkah 5.5.1.2.8

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.2.8.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Langkah 5.5.1.2.8.2

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.2.8.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Langkah 5.5.1.2.8.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.2.8.2.2.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Langkah 5.5.1.2.8.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Langkah 5.5.1.2.8.3

Tambahkan $- 2 x$ dan $2 x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} + 0 - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Langkah 5.5.1.2.8.4

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Langkah 5.5.1.2.9

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Langkah 5.5.1.3

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Langkah 5.5.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Langkah 5.5.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 5.5.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 5.5.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = 2 x + 1$ dan $g (x) = 2 x - 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 5.5.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 5.5.3.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 5.5.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 5.5.3.6

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 5.5.3.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 5.5.3.8

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 5.5.3.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $2 x + 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot (2 x + 1) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 5.5.3.10

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 5.5.3.11

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 5.5.3.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 5.5.3.13

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 5.5.3.14

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 5.5.3.15

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 5.5.3.16

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $2 x - 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + 2 \cdot (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 5.5.3.17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.17.1

Terapkan sifat distributif.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 2 x + 2 \cdot 1 + 2 (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 5.5.3.17.2

Terapkan sifat distributif.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 2 x + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 5.5.3.17.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.17.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 5.5.3.17.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 2 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 5.5.3.17.3.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 2 + 4 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 5.5.3.17.3.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 2 + 4 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 5.5.3.17.3.5

Tambahkan $4 x$ dan $4 x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{8 x + 2 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 5.5.3.17.3.6

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{8 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 5.5.3.17.3.7

Tambahkan $8 x$ dan $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 5.5.3.18

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{8 x}{2 x}}}$

Langkah 5.5.4

Kurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.1

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.1.1

Faktorkan $2$ dari $8 x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 x}}}$

Langkah 5.5.4.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 (x)}}}$

Langkah 5.5.4.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 x}}}$

Langkah 5.5.4.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x}}}$

Langkah 5.5.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x}}}$

Langkah 5.5.4.2.2

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 4}}$

Langkah 5.6

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Evaluasi limit dari $4$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{4}}$

Langkah 5.6.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Langkah 5.6.2.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$2 (\frac{1}{2})$

Langkah 5.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{1}{2})$

Langkah 5.6.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1$

Langkah 6

Evaluasi $lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ untuk mencari asimtot datarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis kembali $4 x^{2}$ sebagai ${(2 x)}^{2}$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{{(2 x)}^{2} - 1}}$

Langkah 6.2.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{{(2 x)}^{2} - 1^{2}}}$

Langkah 6.2.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 2 x$ dan $b = 1$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{(2 x + 1) (2 x - 1)}}$

Langkah 6.3

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Langkah 6.4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Langkah 6.4.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Langkah 6.4.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- \infty$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Langkah 6.4.4

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Langkah 6.4.5

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Langkah 6.5

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Langkah 6.5.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Langkah 6.5.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Langkah 6.5.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Langkah 6.5.1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1.2.4.1

Pindahkan $x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Langkah 6.5.1.2.4.2

Pindahkan $x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Langkah 6.5.1.2.4.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Langkah 6.5.1.2.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{1} x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Langkah 6.5.1.2.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{1} x^{1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Langkah 6.5.1.2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Langkah 6.5.1.2.8

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1.2.8.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Langkah 6.5.1.2.8.2

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1.2.8.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} - 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Langkah 6.5.1.2.8.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1.2.8.2.2.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Langkah 6.5.1.2.8.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Langkah 6.5.1.2.8.3

Tambahkan $- 2 x$ dan $2 x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} + 0 - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Langkah 6.5.1.2.8.4

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Langkah 6.5.1.2.9

Limit ketika tak hingga negatif dari polinomial derajat genap yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Langkah 6.5.1.3

Limit ketika tak hingga negatif dari polinomial derajat genap yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Langkah 6.5.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Langkah 6.5.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 6.5.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 6.5.3.2

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 6.5.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 6.5.3.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 6.5.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 6.5.3.6

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 6.5.3.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 6.5.3.8

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 6.5.3.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $2 x + 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot (2 x + 1) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 6.5.3.10

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 6.5.3.11

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 6.5.3.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 6.5.3.13

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 6.5.3.14

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 6.5.3.15

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 6.5.3.16

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $2 x - 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + 2 \cdot (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 6.5.3.17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.3.17.1

Terapkan sifat distributif.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 2 x + 2 \cdot 1 + 2 (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 6.5.3.17.2

Terapkan sifat distributif.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 2 x + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 6.5.3.17.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.3.17.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 6.5.3.17.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 2 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 6.5.3.17.3.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 2 + 4 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 6.5.3.17.3.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 2 + 4 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 6.5.3.17.3.5

Tambahkan $4 x$ dan $4 x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{8 x + 2 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 6.5.3.17.3.6

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{8 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 6.5.3.17.3.7

Tambahkan $8 x$ dan $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Langkah 6.5.3.18

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{8 x}{2 x}}}$

Langkah 6.5.4

Kurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.4.1

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.4.1.1

Faktorkan $2$ dari $8 x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 x}}}$

Langkah 6.5.4.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.4.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 (x)}}}$

Langkah 6.5.4.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 x}}}$

Langkah 6.5.4.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x}{x}}}$

Langkah 6.5.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x}{x}}}$

Langkah 6.5.4.2.2

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 4}}$

Langkah 6.6

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Evaluasi limit dari $4$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- \infty$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{4}}$

Langkah 6.6.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $1$ dan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.2.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{4}}$

Langkah 6.6.2.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{4}})$

Langkah 6.6.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.2.2.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{2^{2}}})$

Langkah 6.6.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$2 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.6.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.2.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$2 (\frac{- 1}{2})$

Langkah 6.6.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{- 1}{2})$

Langkah 6.6.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1$

Langkah 7

Tuliskan asimtot datarnya:

$y = 1, - 1$

Langkah 8

Gunakan pembagian polinomial untuk menentukan asimtot miring. Karena pernyataan ini memuat akar, maka pembagian polinomial tidak dapat dilakukan.

Tidak Dapat Mencari Asimtot Miring

Langkah 9

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

Asimtot Datar: $y = 1, - 1$

Tidak Dapat Mencari Asimtot Miring

Langkah 10