Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{5}{6 x - 4}$ , $[2, 5]$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$\frac{5}{6 x - 4} = 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $\frac{5}{6 x - 4} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$5 = 0$

Langkah 1.2.2

Karena $5 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2

Faktorkan $2$ dari $6 x - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan $2$ dari $6 x$ .

$y = \frac{5}{2 (3 x) - 4}$

Langkah 2.2

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$y = \frac{5}{2 (3 x) + 2 (- 2)}$

Langkah 2.3

Faktorkan $2$ dari $2 (3 x) + 2 (- 2)$ .

$y = \frac{5}{2 (3 x - 2)}$

Langkah 3

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{2}^{5} \frac{5}{2 (3 x - 2)} d x - \int_{2}^{5} 0 d x$

Langkah 4

Integralkan untuk menghitung luas antara $2$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{2}^{5} \frac{5}{2 (3 x - 2)} - (0) d x$

Langkah 4.2

Kurangi $0$ dengan $\frac{5}{2 (3 x - 2)}$ .

$\int_{2}^{5} \frac{5}{2 (3 x - 2)} d x$

Langkah 4.3

Karena $\frac{5}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{5}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{5}{2} \int_{2}^{5} \frac{1}{3 x - 2} d x$

Langkah 4.4

Biarkan $u = 3 x - 2$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Biarkan $u = 3 x - 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1.1

Diferensialkan $3 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Langkah 4.4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x - 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 4.4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 4.4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 4.4.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 4.4.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1.4.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 + 0$

Langkah 4.4.1.4.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$3$

Langkah 4.4.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 3 x - 2$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 2 - 2$

Langkah 4.4.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.3.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$u_{lower} = 6 - 2$

Langkah 4.4.3.2

Kurangi $2$ dengan $6$ .

$u_{lower} = 4$

Langkah 4.4.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 3 x - 2$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 5 - 2$

Langkah 4.4.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.5.1

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$u_{upper} = 15 - 2$

Langkah 4.4.5.2

Kurangi $2$ dengan $15$ .

$u_{upper} = 13$

Langkah 4.4.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 13$

Langkah 4.4.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{5}{2} \int_{4}^{13} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Langkah 4.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{2} \int_{4}^{13} \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Langkah 4.5.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $u$ .

$\frac{5}{2} \int_{4}^{13} \frac{1}{3 u} d u$

Langkah 4.6

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{5}{2} (\frac{1}{3} \int_{4}^{13} \frac{1}{u} d u)$

Langkah 4.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{3 \cdot 2} \int_{4}^{13} \frac{1}{u} d u$

Langkah 4.7.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{5}{6} \int_{4}^{13} \frac{1}{u} d u$

Langkah 4.8

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{5}{6} \ln (| u |)]_{4}^{13}$

Langkah 4.9

Evaluasi $\ln (| u |)$ pada $13$ dan pada $4$ .

$\frac{5}{6} (\ln (| 13 |) - \ln (| 4 |))$

Langkah 4.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.1

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{5}{6} \ln (\frac{| 13 |}{| 4 |})$

Langkah 4.10.2

Gabungkan $\frac{5}{6}$ dan $\ln (\frac{| 13 |}{| 4 |})$ .

$\frac{5 \ln (\frac{| 13 |}{| 4 |})}{6}$

Langkah 4.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $13$ adalah $13$ .

$\frac{5 \ln (\frac{13}{| 4 |})}{6}$

Langkah 4.11.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $4$ adalah $4$ .

$\frac{5 \ln (\frac{13}{4})}{6}$

Langkah 5

Jumlahkan luas $\frac{5 \ln (\frac{13}{4})}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan $5 \ln (\frac{13}{4})$ dengan memindahkan $5$ ke dalam logaritma.

$\frac{\ln ({(\frac{13}{4})}^{5})}{6}$

Langkah 5.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{13}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{13^{5}}{4^{5}})}{6}$

Langkah 5.2.2

Naikkan $13$ menjadi pangkat $5$ .

$\frac{\ln (\frac{371293}{4^{5}})}{6}$

Langkah 5.2.3

Naikkan $4$ menjadi pangkat $5$ .

$\frac{\ln (\frac{371293}{1024})}{6}$

Langkah 5.3

Tulis kembali $\frac{\ln (\frac{371293}{1024})}{6}$ sebagai $\frac{1}{6} \ln (\frac{371293}{1024})$ .

$\frac{1}{6} \ln (\frac{371293}{1024})$

Langkah 5.4

Sederhanakan $\frac{1}{6} \ln (\frac{371293}{1024})$ dengan memindahkan $\frac{1}{6}$ ke dalam logaritma.

$\ln ({(\frac{371293}{1024})}^{\frac{1}{6}})$

Langkah 5.5

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{371293}{1024}$ .

$\ln (\frac{371293^{\frac{1}{6}}}{1024^{\frac{1}{6}}})$

Langkah 6