Kalkulus Contoh

$g (x) = - 5 \sec (x)$ , $- \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 \sec (x)$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Langkah 1.1.1.2

Turunan dari $\sec (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec (x) \tan (x)$ .

$f' (x) = - 5 \sec (x) \tan (x)$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $g (x)$ terhadap $x$ adalah $- 5 \sec (x) \tan (x)$ .

$- 5 \sec (x) \tan (x)$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$

Langkah 1.2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Langkah 1.2.3

Atur $\sec (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Atur $\sec (x)$ sama dengan $0$ .

$\sec (x) = 0$

Langkah 1.2.3.2

Jangkauan dari sekan adalah $y \leq - 1$ dan $y \geq 1$ . Karena $0$ tidak berada dalam jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 1.2.4

Atur $\tan (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Atur $\tan (x)$ sama dengan $0$ .

$\tan (x) = 0$

Langkah 1.2.4.2

Selesaikan $\tan (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam tangen.

$x = \arctan (0)$

Langkah 1.2.4.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.2.1

Nilai eksak dari $\arctan (0)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 1.2.4.2.3

Fungsi tangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaiannya di kuadran keempat.

$x = π + 0$

Langkah 1.2.4.2.4

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$x = π$

Langkah 1.2.4.2.5

Tentukan periode dari $\tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Langkah 1.2.4.2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Langkah 1.2.4.2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{π}{1}$

Langkah 1.2.4.2.5.4

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 1.2.4.2.6

Periode dari fungsi $\tan (x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = π n, π + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.2.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$ benar.

$x = π n, π + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.2.6

Gabungkan jawabannya.

$x = π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Atur argumen dalam $\sec (x)$ agar sama dengan $\frac{π}{2} + π n$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.3.2

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , untuk bilangan bulat apa pun $n$

Langkah 1.4

Evaluasi $- 5 \sec (x)$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$- 5 \sec (0)$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$- 5 \cdot 1$

Langkah 1.4.1.2.2

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$- 5$

Langkah 1.4.2

Evaluasi pada $x = π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan $π$ untuk $x$ .

$- 5 \sec (π)$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sekan negatif di kuadran kedua.

$- 5 (- \sec (0))$

Langkah 1.4.2.2.2

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$- 5 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 1.4.2.2.3

Kalikan $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 5 \cdot - 1$

Langkah 1.4.2.2.3.2

Kalikan $- 5$ dengan $- 1$ .

$5$

Langkah 1.4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0 + 2 π n, - 5), (π + 2 π n, 5)$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2

Keluarkan titik-titik yang tidak termasuk dalam interval.

$(0, - 5), (π, 5)$

Langkah 3

Gunakan uji turunan kedua untuk menentukan titik yang dapat menjadi maksimum atau minimum.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 \sec (x) \tan (x)$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \sec (x)$ dan $g (x) = \tan (x)$ .

$- 5 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Langkah 3.1.3

Turunan dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec^{2} (x)$ .

$- 5 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Langkah 3.1.4

Kalikan $\sec (x)$ dengan $\sec^{2} (x)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.1

Kalikan $\sec (x)$ dengan $\sec^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.1.1

Naikkan $\sec (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$- 5 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Langkah 3.1.4.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 5 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Langkah 3.1.4.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Langkah 3.1.5

Turunan dari $\sec (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec (x) \tan (x)$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Langkah 3.1.6

Naikkan $\tan (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x))$

Langkah 3.1.7

Naikkan $\tan (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x))$

Langkah 3.1.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 5 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

Langkah 3.1.9

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Langkah 3.1.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.10.1

Terapkan sifat distributif.

$- 5 \sec^{3} (x) - 5 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Langkah 3.1.10.2

Susun kembali suku-suku.

$- 5 \tan^{2} (x) \sec (x) - 5 \sec^{3} (x)$

Langkah 3.2

Substitusikan $0$ untuk $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$- 5 \tan^{2} (0) \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Langkah 3.2.2

Evaluasi $\tan (0)$ .

$- 5 \cdot 0^{2} \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Langkah 3.2.3

Naikkan $0$ menjadi pangkat $2$ .

$- 5 \cdot 0 \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Langkah 3.2.4

Kalikan $- 5$ dengan $0$ .

$0 \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Langkah 3.2.5

Evaluasi $\sec (0)$ .

$0 \cdot 1 - 5 \sec^{3} (0)$

Langkah 3.2.6

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$0 - 5 \sec^{3} (0)$

Langkah 3.2.7

Evaluasi $\sec (0)$ .

$0 - 5 \cdot 1^{3}$

Langkah 3.2.8

Naikkan $1$ menjadi pangkat $3$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Langkah 3.2.9

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$0 - 5$

Langkah 3.2.10

Kurangi $5$ dengan $0$ .

$- 5$

Langkah 3.3

Karena turunan kedua negatif pada $0$ , turunan tersebut adalah maksimum.

$0$ adalah maksimum lokal

Langkah 3.4

Substitusikan $π$ untuk $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Substitusikan $π$ untuk $x$ .

$- 5 \tan^{2} (π) \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Langkah 3.4.2

Evaluasi $\tan (π)$ .

$- 5 {(0)}^{2} \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Langkah 3.4.3

Naikkan $0$ menjadi pangkat $2$ .

$- 5 \cdot 0 \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Langkah 3.4.4

Kalikan $- 5$ dengan $0$ .

$0 \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Langkah 3.4.5

Evaluasi $\sec (π)$ .

$0 \cdot - 1 - 5 \sec^{3} (π)$

Langkah 3.4.6

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$0 - 5 \sec^{3} (π)$

Langkah 3.4.7

Evaluasi $\sec (π)$ .

$0 - 5 {(- 1)}^{3}$

Langkah 3.4.8

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$0 - 5 \cdot - 1$

Langkah 3.4.9

Kalikan $- 5$ dengan $- 1$ .

$0 + 5$

Langkah 3.4.10

Tambahkan $0$ dan $5$ .

$5$

Langkah 3.5

Karena turunan kedua positif pada $π$ , turunan tersebut adalah minimum.

$π$ adalah minimum lokal

Langkah 3.6

Sebutkan ekstrem lokalnya

$0$ adalah maksimum lokal

$π$ adalah minimum lokal

$0$ adalah maksimum lokal

$π$ adalah minimum lokal

Langkah 4

Bandingkan nilai $g (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $g (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $g (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(0, - 5)$

Minimum Mutlak: $(π, 5)$

Langkah 5