Kalkulus Contoh

$f (x) = x e^{- 5 x}$ , $0 \leq x \leq 2$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{- 5 x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}] + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- 5 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 5 x$ .

$x (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 x$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.3.1

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$x (e^{- 5 x} \cdot - 5) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.3.3.2

Pindahkan $- 5$ ke sebelah kiri $e^{- 5 x}$ .

$x (- 5 \cdot e^{- 5 x}) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x} \cdot 1$

Langkah 1.1.1.3.5

Kalikan $e^{- 5 x}$ dengan $1$ .

$x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}$

Langkah 1.1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.1

Susun kembali suku-suku.

$- 5 e^{- 5 x} x + e^{- 5 x}$

Langkah 1.1.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- 5 e^{- 5 x} x + e^{- 5 x}$ .

$f' (x) = - 5 x e^{- 5 x} + e^{- 5 x}$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 5 x e^{- 5 x} + e^{- 5 x}$ .

$- 5 x e^{- 5 x} + e^{- 5 x}$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 5 x e^{- 5 x} + e^{- 5 x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 5 x e^{- 5 x} + e^{- 5 x} = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $e^{- 5 x}$ dari $- 5 x e^{- 5 x} + e^{- 5 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Faktorkan $e^{- 5 x}$ dari $- 5 x e^{- 5 x}$ .

$e^{- 5 x} (- 5 x) + e^{- 5 x} = 0$

Langkah 1.2.2.2

Kalikan dengan $1$ .

$e^{- 5 x} (- 5 x) + e^{- 5 x} \cdot 1 = 0$

Langkah 1.2.2.3

Faktorkan $e^{- 5 x}$ dari $e^{- 5 x} (- 5 x) + e^{- 5 x} \cdot 1$ .

$e^{- 5 x} (- 5 x + 1) = 0$

Langkah 1.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$e^{- 5 x} = 0$

$- 5 x + 1 = 0$

Langkah 1.2.4

Atur $e^{- 5 x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Atur $e^{- 5 x}$ sama dengan $0$ .

$e^{- 5 x} = 0$

Langkah 1.2.4.2

Selesaikan $e^{- 5 x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{- 5 x}) = \ln (0)$

Langkah 1.2.4.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 1.2.4.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{- 5 x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 1.2.5

Atur $- 5 x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur $- 5 x + 1$ sama dengan $0$ .

$- 5 x + 1 = 0$

Langkah 1.2.5.2

Selesaikan $- 5 x + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 5 x = - 1$

Langkah 1.2.5.2.2

Bagi setiap suku pada $- 5 x = - 1$ dengan $- 5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- 5 x = - 1$ dengan $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Langkah 1.2.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Langkah 1.2.5.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 5}$

Langkah 1.2.5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$x = \frac{1}{5}$

Langkah 1.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $e^{- 5 x} (- 5 x + 1) = 0$ benar.

$x = \frac{1}{5}$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $x e^{- 5 x}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = \frac{1}{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $\frac{1}{5}$ untuk $x$ .

$(\frac{1}{5}) \cdot e^{- 5 (\frac{1}{5})}$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.1

Faktorkan $5$ dari $- 5$ .

$\frac{1}{5} \cdot e^{5 (- 1) \frac{1}{5}}$

Langkah 1.4.1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{5} \cdot e^{5 \cdot - 1 \frac{1}{5}}$

Langkah 1.4.1.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{5} \cdot e^{- 1}$

Langkah 1.4.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{e}$

Langkah 1.4.1.2.3

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{5 e}$

Langkah 1.4.2

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(\frac{1}{5}, \frac{1}{5 e})$

Langkah 2

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$(0) \cdot e^{- 5 \cdot 0}$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Kalikan $- 5$ dengan $0$ .

$0 \cdot e^{0}$

Langkah 2.1.2.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$0 \cdot 1$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$0$

Langkah 2.2

Evaluasi pada $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Substitusikan $2$ untuk $x$ .

$(2) \cdot e^{- 5 \cdot 2}$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kalikan $- 5$ dengan $2$ .

$2 \cdot e^{- 10}$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \cdot \frac{1}{e^{10}}$

Langkah 2.2.2.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{e^{10}}$ .

$\frac{2}{e^{10}}$

Langkah 2.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 0), (2, \frac{2}{e^{10}})$

Langkah 3

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(\frac{1}{5}, \frac{1}{5 e})$

Minimum Mutlak: $(0, 0)$

Langkah 4