Kalkulus Contoh

$f (x) = 6 x^{5} - 5 x^{6}$ ; $(- \infty, \infty)$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x^{5} - 5 x^{6}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$

Langkah 1.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{5}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$

Langkah 1.1.1.2.3

Kalikan $5$ dengan $6$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$

Langkah 1.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 x^{6}$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$30 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Langkah 1.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 6$ .

$30 x^{4} - 5 (6 x^{5})$

Langkah 1.1.1.3.3

Kalikan $6$ dengan $- 5$ .

$30 x^{4} - 30 x^{5}$

Langkah 1.1.1.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - 30 x^{5} + 30 x^{4}$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 30 x^{5} + 30 x^{4}$ .

$- 30 x^{5} + 30 x^{4}$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 30 x^{5} + 30 x^{4} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 30 x^{5} + 30 x^{4} = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $- 30 x^{4}$ dari $- 30 x^{5} + 30 x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Faktorkan $- 30 x^{4}$ dari $- 30 x^{5}$ .

$- 30 x^{4} x + 30 x^{4} = 0$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan $- 30 x^{4}$ dari $30 x^{4}$ .

$- 30 x^{4} x - 30 x^{4} \cdot - 1 = 0$

Langkah 1.2.2.3

Faktorkan $- 30 x^{4}$ dari $- 30 x^{4} (x) - 30 x^{4} (- 1)$ .

$- 30 x^{4} (x - 1) = 0$

Langkah 1.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{4} = 0$

$x - 1 = 0$

Langkah 1.2.4

Atur $x^{4}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Atur $x^{4}$ sama dengan $0$ .

$x^{4} = 0$

Langkah 1.2.4.2

Selesaikan $x^{4} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Langkah 1.2.4.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Langkah 1.2.4.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 1.2.4.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 1.2.5

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 1.2.5.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 1.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- 30 x^{4} (x - 1) = 0$ benar.

$x = 0, 1$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $6 x^{5} - 5 x^{6}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$6 {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{6}$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$6 \cdot 0 - 5 {(0)}^{6}$

Langkah 1.4.1.2.1.2

Kalikan $6$ dengan $0$ .

$0 - 5 {(0)}^{6}$

Langkah 1.4.1.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 - 5 \cdot 0$

Langkah 1.4.1.2.1.4

Kalikan $- 5$ dengan $0$ .

$0 + 0$

Langkah 1.4.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0$

Langkah 1.4.2

Evaluasi pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$6 {(1)}^{5} - 5 {(1)}^{6}$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$6 \cdot 1 - 5 {(1)}^{6}$

Langkah 1.4.2.2.1.2

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$6 - 5 {(1)}^{6}$

Langkah 1.4.2.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$6 - 5 \cdot 1$

Langkah 1.4.2.2.1.4

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$6 - 5$

Langkah 1.4.2.2.2

Kurangi $5$ dengan $6$ .

$1$

Langkah 1.4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 0), (1, 1)$

Langkah 2

Gunakan uji turunan pertama untuk menentukan titik yang dapat menjadi maksimum atau minimum.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 2.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 2$ , dari interval $(- \infty, 0)$ dalam turunan pertama $- 30 x^{5} + 30 x^{4}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = - 30 {(- 2)}^{5} + 30 {(- 2)}^{4}$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $5$ .

$f' (- 2) = - 30 \cdot - 32 + 30 {(- 2)}^{4}$

Langkah 2.2.2.1.2

Kalikan $- 30$ dengan $- 32$ .

$f' (- 2) = 960 + 30 {(- 2)}^{4}$

Langkah 2.2.2.1.3

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $4$ .

$f' (- 2) = 960 + 30 \cdot 16$

Langkah 2.2.2.1.4

Kalikan $30$ dengan $16$ .

$f' (- 2) = 960 + 480$

Langkah 2.2.2.2

Tambahkan $960$ dan $480$ .

$f' (- 2) = 1440$

Langkah 2.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1440$ .

$1440$

Langkah 2.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $0.5$ , dari interval $(0, 1)$ dalam turunan pertama $- 30 x^{5} + 30 x^{4}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.5$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0.5) = - 30 {(0.5)}^{5} + 30 {(0.5)}^{4}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Naikkan $0.5$ menjadi pangkat $5$ .

$f' (0.5) = - 30 \cdot 0.03125 + 30 {(0.5)}^{4}$

Langkah 2.3.2.1.2

Kalikan $- 30$ dengan $0.03125$ .

$f' (0.5) = - 0.9375 + 30 {(0.5)}^{4}$

Langkah 2.3.2.1.3

Naikkan $0.5$ menjadi pangkat $4$ .

$f' (0.5) = - 0.9375 + 30 \cdot 0.0625$

Langkah 2.3.2.1.4

Kalikan $30$ dengan $0.0625$ .

$f' (0.5) = - 0.9375 + 1.875$

Langkah 2.3.2.2

Tambahkan $- 0.9375$ dan $1.875$ .

$f' (0.5) = 0.9375$

Langkah 2.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.9375$ .

$0.9375$

Langkah 2.4

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $4$ , dari interval $(1, \infty)$ dalam turunan pertama $- 30 x^{5} + 30 x^{4}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (4) = - 30 {(4)}^{5} + 30 {(4)}^{4}$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $5$ .

$f' (4) = - 30 \cdot 1024 + 30 {(4)}^{4}$

Langkah 2.4.2.1.2

Kalikan $- 30$ dengan $1024$ .

$f' (4) = - 30720 + 30 {(4)}^{4}$

Langkah 2.4.2.1.3

Naikkan $4$ menjadi pangkat $4$ .

$f' (4) = - 30720 + 30 \cdot 256$

Langkah 2.4.2.1.4

Kalikan $30$ dengan $256$ .

$f' (4) = - 30720 + 7680$

Langkah 2.4.2.2

Tambahkan $- 30720$ dan $7680$ .

$f' (4) = - 23040$

Langkah 2.4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 23040$ .

$- 23040$

Langkah 2.5

Karena turunan pertamanya tidak mengubah tanda-tanda di sekitar $x = 0$ , ini bukan merupakan maksimum atau minimum lokal.

Bukan maksimum atau minimum lokal

Langkah 2.6

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari positif menjadi negatif di sekitar $x = 1$ , maka $x = 1$ adalah maksimum lokal.

$x = 1$ adalah maksimum lokal

Langkah 3

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(1, 1)$

Tidak ada minimum mutlak

Langkah 4