Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 49}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} + 49}$ sebagai ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x^{2} + 49$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 49$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 49$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Langkah 1.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Langkah 1.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Langkah 1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Langkah 1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Langkah 1.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Langkah 1.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Langkah 1.7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Langkah 1.7.3

Pindahkan ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Langkah 1.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 49$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49])$

Langkah 1.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [49])$

Langkah 1.10

Karena $49$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $49$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Langkah 1.11

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.11.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Langkah 1.11.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} x$

Langkah 1.11.3

Gabungkan $\frac{2}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.11.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.11.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.2

Kalikan eksponen dalam ${({(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.4.2

Kalikan ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x^{2} + 49$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 49$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.5.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 49$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.9.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.10

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.10.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.10.3

Pindahkan ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.10.4

Gabungkan $\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 49)}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.11

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 49$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (49))}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (49))}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.13

Karena $49$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $49$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.14

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.14.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.14.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.14.3

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.14.4

Gabungkan $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.15

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.16

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.17

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.18

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.19

Faktorkan $2$ dari $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.20

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.20.1

Faktorkan $2$ dari $2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.20.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.20.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.21

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.22

Untuk menuliskan ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.23

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.24

Kalikan ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.24.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.24.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.24.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.24.4

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 49) - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.25

Sederhanakan ${(x^{2} + 49)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 49 - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.26

Kurangi $x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0 + 49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.27

Tambahkan $0$ dan $49$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.28

Tulis kembali $\frac{\frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$ sebagai hasil kali.

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 49}$

Langkah 2.29

Kalikan $\frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{x^{2} + 49}$ .

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 49)}$

Langkah 2.30

Kalikan ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $x^{2} + 49$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.30.1

Kalikan ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $x^{2} + 49$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.30.1.1

Naikkan $x^{2} + 49$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 49)}$

Langkah 2.30.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Langkah 2.30.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Langkah 2.30.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Langkah 2.30.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} + 49}$ sebagai ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x^{2} + 49$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 49$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Langkah 4.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 49$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Langkah 4.1.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Langkah 4.1.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Langkah 4.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Langkah 4.1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Langkah 4.1.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Langkah 4.1.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Langkah 4.1.7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Langkah 4.1.7.3

Pindahkan ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Langkah 4.1.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 49$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49])$

Langkah 4.1.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [49])$

Langkah 4.1.10

Karena $49$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $49$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Langkah 4.1.11

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.11.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Langkah 4.1.11.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} x$

Langkah 4.1.11.3

Gabungkan $\frac{2}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.1.11.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.1.11.5

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 5.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$x = 0$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{49}{{({(0)}^{2} + 49)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{49}{{(0 + 49)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 9.1.2

Tambahkan $0$ dan $49$ .

$\frac{49}{49^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 9.1.3

Tulis kembali $49$ sebagai $7^{2}$ .

$\frac{49}{{(7^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 9.1.4

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{49}{7^{2 (\frac{3}{2})}}$

Langkah 9.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{49}{7^{2 (\frac{3}{2})}}$

Langkah 9.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{49}{7^{3}}$

Langkah 9.1.6

Naikkan $7$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{49}{343}$

Langkah 9.2

Hapus faktor persekutuan dari $49$ dan $343$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Faktorkan $49$ dari $49$ .

$\frac{49 (1)}{343}$

Langkah 9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Faktorkan $49$ dari $343$ .

$\frac{49 \cdot 1}{49 \cdot 7}$

Langkah 9.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{49 \cdot 1}{49 \cdot 7}$

Langkah 9.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{7}$

Langkah 10

$x = 0$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah minimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = \sqrt{{(0)}^{2} + 49}$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = \sqrt{0 + 49}$

Langkah 11.2.2

Tambahkan $0$ dan $49$ .

$f (0) = \sqrt{49}$

Langkah 11.2.3

Tulis kembali $49$ sebagai $7^{2}$ .

$f (0) = \sqrt{7^{2}}$

Langkah 11.2.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (0) = 7$

Langkah 11.2.5

Jawaban akhirnya adalah $7$ .

$y = 7$

Langkah 12

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = \sqrt{x^{2} + 49}$ .

$(0, 7)$ adalah minimum lokal

Langkah 13