Kalkulus Contoh

$f (x) = \sin (x) \cos (x) + 7$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin (x) \cos (x) + 7$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 1.2.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 1.2.4

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 1.2.5

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 1.2.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 1.2.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 1.2.8

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 1.2.9

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 1.2.10

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 1.2.11

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 1.3

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 0$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Tambahkan $- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ dan $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Langkah 1.4.2

Susun kembali $- \sin^{2} (x)$ dan $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Langkah 1.4.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = \cos (x)$ dan $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Langkah 1.4.4

Perluas $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.1

Terapkan sifat distributif.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Langkah 1.4.4.2

Terapkan sifat distributif.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Langkah 1.4.4.3

Terapkan sifat distributif.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Langkah 1.4.5

Gabungkan suku balikan dalam $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.5.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $\cos (x) (- \sin (x))$ dan $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Langkah 1.4.5.2

Tambahkan $- \cos (x) \sin (x)$ dan $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Langkah 1.4.5.3

Tambahkan $\cos (x) \cos (x)$ dan $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Langkah 1.4.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.6.1

Kalikan $\cos (x) \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.6.1.1

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Langkah 1.4.6.1.2

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Langkah 1.4.6.1.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Langkah 1.4.6.1.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Langkah 1.4.6.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Langkah 1.4.6.3

Kalikan $- \sin (x) \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.6.3.1

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Langkah 1.4.6.3.2

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Langkah 1.4.6.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Langkah 1.4.6.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Langkah 1.4.7

Terapkan identitas sudut ganda kosinus.

$\cos (2 x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$f'' (x) = - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} x$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Langkah 2.2.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\cos (2 x) = 0$

Langkah 4

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$2 x = \arccos (0)$

Langkah 5

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Langkah 6

Bagi setiap suku pada $2 x = \frac{π}{2}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagilah setiap suku di $2 x = \frac{π}{2}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Langkah 6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Langkah 6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 6.3.2

Kalikan $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Langkah 6.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Langkah 7

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 8

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 8.1.2

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 8.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 8.1.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 8.1.5

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 8.2

Bagi setiap suku pada $2 x = \frac{3 π}{2}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = \frac{3 π}{2}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Langkah 8.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Langkah 8.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 8.2.3.2

Kalikan $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.2.1

Kalikan $\frac{3 π}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Langkah 8.2.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Langkah 9

Penyelesaian untuk persamaan $2 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Langkah 10

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{4}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Langkah 11

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Langkah 11.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Langkah 11.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 11.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Langkah 11.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2$

Langkah 12

$x = \frac{π}{4}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{π}{4}$ adalah maksimum lokal

Langkah 13

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{4}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4}) + 7$

Langkah 13.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) + 7$

Langkah 13.2.1.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 7$

Langkah 13.2.1.3

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.3.1

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Langkah 13.2.1.3.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Langkah 13.2.1.3.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Langkah 13.2.1.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + 7$

Langkah 13.2.1.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Langkah 13.2.1.3.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + 7$

Langkah 13.2.1.4

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 7$

Langkah 13.2.1.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 7$

Langkah 13.2.1.4.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

Langkah 13.2.1.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

Langkah 13.2.1.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2}{4} + 7$

Langkah 13.2.1.4.5

Evaluasi eksponennya.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2}{4} + 7$

Langkah 13.2.1.5

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.5.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (1)}{4} + 7$

Langkah 13.2.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

Langkah 13.2.1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

Langkah 13.2.1.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} + 7$

Langkah 13.2.2

Untuk menuliskan $7$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 13.2.3

Gabungkan $7$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}$

Langkah 13.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1 + 7 \cdot 2}{2}$

Langkah 13.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.5.1

Kalikan $7$ dengan $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1 + 14}{2}$

Langkah 13.2.5.2

Tambahkan $1$ dan $14$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{15}{2}$

Langkah 13.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{15}{2}$ .

$y = \frac{15}{2}$

Langkah 14

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{3 π}{4}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Langkah 15

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)})$

Langkah 15.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

Langkah 15.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 15.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 15.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 15.4

Kalikan $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Langkah 15.4.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$2$

Langkah 16

$x = \frac{3 π}{4}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{3 π}{4}$ adalah minimum lokal

Langkah 17

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{3 π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3 π}{4}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 7$

Langkah 17.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 7$

Langkah 17.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{3 π}{4}) + 7$

Langkah 17.2.1.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4})) + 7$

Langkah 17.2.1.4

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 7$

Langkah 17.2.1.5

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1.5.1

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Langkah 17.2.1.5.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Langkah 17.2.1.5.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Langkah 17.2.1.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + 7$

Langkah 17.2.1.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Langkah 17.2.1.5.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + 7$

Langkah 17.2.1.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 7$

Langkah 17.2.1.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 7$

Langkah 17.2.1.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

Langkah 17.2.1.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

Langkah 17.2.1.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2}{4} + 7$

Langkah 17.2.1.6.5

Evaluasi eksponennya.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2}{4} + 7$

Langkah 17.2.1.7

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1.7.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 (1)}{4} + 7$

Langkah 17.2.1.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

Langkah 17.2.1.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

Langkah 17.2.1.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2} + 7$

Langkah 17.2.2

Untuk menuliskan $7$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 17.2.3

Gabungkan $7$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}$

Langkah 17.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1 + 7 \cdot 2}{2}$

Langkah 17.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.5.1

Kalikan $7$ dengan $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1 + 14}{2}$

Langkah 17.2.5.2

Tambahkan $- 1$ dan $14$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{13}{2}$

Langkah 17.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{13}{2}$ .

$y = \frac{13}{2}$

Langkah 18

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = \sin (x) \cos (x) + 7$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{15}{2})$ adalah maksimum lokal

$(\frac{3 π}{4}, \frac{13}{2})$ adalah minimum lokal

Langkah 19