Kalkulus Contoh

$y = x - \sin (x)$

Langkah 1

Tulis $y = x - \sin (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = x - \sin (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - \sin (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$1 - \cos (x)$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - \cos (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Langkah 3.1.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cos (x)$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

Langkah 3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 1 \sin (x)$

Langkah 3.2.4

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

Langkah 3.3

Tambahkan $0$ dan $\sin (x)$ .

$f'' (x) = \sin (x)$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$1 - \cos (x) = 0$

Langkah 5

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \cos (x) = - 1$

Langkah 6

Bagi setiap suku pada $- \cos (x) = - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagilah setiap suku di $- \cos (x) = - 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 6.2.2

Bagilah $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

Langkah 7

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (1)$

Langkah 8

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Nilai eksak dari $\arccos (1)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 9

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - 0$

Langkah 10

Kurangi $0$ dengan $2 π$ .

$x = 2 π$

Langkah 11

Penyelesaian untuk persamaan $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\sin (0)$

Langkah 13

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 14

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Langkah 14.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 2$ , dari interval $(- \infty, 0)$ dalam turunan pertama $1 - \cos (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = 1 - \cos (- 2)$

Langkah 14.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.2.1.1

Evaluasi $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = 1 + 0.41614683$

Langkah 14.2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 0.41614683$ .

$f' (- 2) = 1 + 0.41614683$

Langkah 14.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $0.41614683$ .

$f' (- 2) = 1.41614683$

Langkah 14.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1.41614683$ .

$1.41614683$

Langkah 14.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $3$ , dari interval $(0, 2 π)$ dalam turunan pertama $1 - \cos (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3) = 1 - \cos (3)$

Langkah 14.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.2.1.1

Evaluasi $\cos (3)$ .

$f' (3) = 1 + 0.98999249$

Langkah 14.3.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 0.98999249$ .

$f' (3) = 1 + 0.98999249$

Langkah 14.3.2.2

Tambahkan $1$ dan $0.98999249$ .

$f' (3) = 1.98999249$

Langkah 14.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1.98999249$ .

$1.98999249$

Langkah 14.4

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $9$ , dari interval $(2 π, \infty)$ dalam turunan pertama $1 - \cos (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Ganti variabel $x$ dengan $9$ pada pernyataan tersebut.

$f' (9) = 1 - \cos (9)$

Langkah 14.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.2.1.1

Evaluasi $\cos (9)$ .

$f' (9) = 1 + 0.91113026$

Langkah 14.4.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 0.91113026$ .

$f' (9) = 1 + 0.91113026$

Langkah 14.4.2.2

Tambahkan $1$ dan $0.91113026$ .

$f' (9) = 1.91113026$

Langkah 14.4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1.91113026$ .

$1.91113026$

Langkah 14.5

Karena turunan pertamanya tidak mengubah tanda-tanda di sekitar $x = 0$ , ini bukan merupakan maksimum atau minimum lokal.

Bukan maksimum atau minimum lokal

Langkah 14.6

Tidak ada maksimum atau minimum lokal yang ditemukan untuk $f (x) = x - \sin (x)$ .

Tidak ada maksimum atau minimum lokal

Langkah 15