Kalkulus Contoh

$y = x - \cos (x)$

Langkah 1

Tulis $y = x - \cos (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = x - \cos (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - \cos (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$1 - - \sin (x)$

Langkah 2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 + 1 \sin (x)$

Langkah 2.2.4

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$1 + \sin (x)$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \sin (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Langkah 3.1.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Langkah 3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 + \cos (x)$

Langkah 3.3

Tambahkan $0$ dan $\cos (x)$ .

$f'' (x) = \cos (x)$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$1 + \sin (x) = 0$

Langkah 5

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\sin (x) = - 1$

Langkah 6

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Langkah 7

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- 1)$ adalah $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Langkah 8

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Langkah 9

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Langkah 9.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{3 π}{2}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 10

Penyelesaian untuk persamaan $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Langkah 11

Evaluasi turunan kedua pada $x = - \frac{π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\cos (- \frac{π}{2})$

Langkah 12

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$\cos (\frac{3 π}{2})$

Langkah 12.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\cos (\frac{π}{2})$

Langkah 12.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 13

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Langkah 13.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 4$ , dari interval $(- \infty, - \frac{π}{2})$ dalam turunan pertama $1 + \sin (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 4) = 1 + \sin (- 4)$

Langkah 13.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.2.1

Evaluasi $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = 1 + 0.75680249$

Langkah 13.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $0.75680249$ .

$f' (- 4) = 1.75680249$

Langkah 13.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1.75680249$ .

$1.75680249$

Langkah 13.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $0$ , dari interval $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ dalam turunan pertama $1 + \sin (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = 1 + \sin (0)$

Langkah 13.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.2.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$f' (0) = 1 + 0$

Langkah 13.3.2.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f' (0) = 1$

Langkah 13.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 13.4

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $7$ , dari interval $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ dalam turunan pertama $1 + \sin (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.1

Ganti variabel $x$ dengan $7$ pada pernyataan tersebut.

$f' (7) = 1 + \sin (7)$

Langkah 13.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.2.1

Evaluasi $\sin (7)$ .

$f' (7) = 1 + 0.65698659$

Langkah 13.4.2.2

Tambahkan $1$ dan $0.65698659$ .

$f' (7) = 1.65698659$

Langkah 13.4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1.65698659$ .

$1.65698659$

Langkah 13.5

Karena turunan pertamanya tidak mengubah tanda-tanda di sekitar $x = - \frac{π}{2}$ , ini bukan merupakan maksimum atau minimum lokal.

Bukan maksimum atau minimum lokal

Langkah 13.6

Tidak ada maksimum atau minimum lokal yang ditemukan untuk $f (x) = x - \cos (x)$ .

Tidak ada maksimum atau minimum lokal

Langkah 14