Kalkulus Contoh

$y = 4 x - \ln (x)$

Langkah 1

Tulis $y = 4 x - \ln (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = 4 x - \ln (x)$

Langkah 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x - \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 2.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 2.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 2.1.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 2.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 2.1.1.3.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$4 - \frac{1}{x}$

Langkah 2.1.1.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 4$

Langkah 2.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{1}{x} + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = - 1$ dan $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.1.2.2.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.1.2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.1.2.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.1.2.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.1.2.2.6

Kalikan $x^{- 2}$ dengan $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.1.2.2.7

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $0$ .

$x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.1.2.2.8

Tambahkan $x^{- 2}$ dan $0$ .

$x^{- 2} + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.1.2.3

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Langkah 2.1.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 0$

Langkah 2.1.2.4.2

Tambahkan $\frac{1}{x^{2}}$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 2.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Langkah 2.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{1}{x^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

Langkah 2.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$1 = 0$

Langkah 2.2.3

Karena $1 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3

Tentukan domain dari $f (x) = 4 x - \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur argumen dalam $\ln (x)$ agar lebih besar dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x > 0$

Langkah 3.2

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x > 0}$

Notasi Interval:

$(0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x > 0}$

Langkah 4

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(0, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (2) = \frac{1}{{(2)}^{2}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4}$

Langkah 5.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(0, \infty)$ karena $f'' (2)$ positif.

Cekung ke atas pada $(0, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 6