Kalkulus Contoh

$\sin (x) - \cos (x)$

Langkah 1

Tulis $\sin (x) - \cos (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = \sin (x) - \cos (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin (x) - \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 2.1.3.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - - \sin (x)$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\cos (x) + 1 \sin (x)$

Langkah 2.1.3.4

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$f' (x) = \cos (x) + \sin (x)$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\cos (x) + \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 2.2.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \cos (x)$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x) + \cos (x)$ .

$- \sin (x) + \cos (x)$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Langkah 3.2

Bagilah setiap suku dalam persamaan tersebut dengan $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 3.3

Pisahkan pecahan.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 3.4

Konversikan dari $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ke $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 3.5

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 3.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 3.7

Pisahkan pecahan.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 3.8

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (x)}$ ke $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Langkah 3.9

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

Langkah 3.10

Kalikan $0$ dengan $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = 0$

Langkah 3.11

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \tan (x) = - 1$

Langkah 3.12

Bagi setiap suku pada $- \tan (x) = - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.1

Bagilah setiap suku di $- \tan (x) = - 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.12.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.12.2.2

Bagilah $\tan (x)$ dengan $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.12.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.3.1

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Langkah 3.13

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam tangen.

$x = \arctan (1)$

Langkah 3.14

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.14.1

Nilai eksak dari $\arctan (1)$ adalah $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Langkah 3.15

Fungsi tangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaiannya di kuadran keempat.

$x = π + \frac{π}{4}$

Langkah 3.16

Sederhanakan $π + \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.16.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Langkah 3.16.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.16.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Langkah 3.16.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Langkah 3.16.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.16.3.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Langkah 3.16.3.2

Tambahkan $4 π$ dan $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Langkah 3.17

Tentukan periode dari $\tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.17.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Langkah 3.17.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Langkah 3.17.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{π}{1}$

Langkah 3.17.4

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 3.18

Periode dari fungsi $\tan (x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $\frac{π}{4}$ dalam $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{4}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Langkah 4.1.2.1.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.1.2.2.2

Kurangi $\sqrt{2}$ dengan $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{0}{2}$

Langkah 4.1.2.2.3

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 0$

Langkah 4.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\frac{π}{4}$ dalam $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ adalah $(\frac{π}{4}, 0)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{π}{4}, 0)$

Langkah 4.3

Substitusikan $\frac{5 π}{4}$ dalam $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{5 π}{4}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{5 π}{4}) = \sin (\frac{5 π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran ketiga.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

Langkah 4.3.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Langkah 4.3.2.1.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran ketiga.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Langkah 4.3.2.1.4

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.3.2.1.5

Kalikan $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 4.3.2.1.5.2

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dengan $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.3.2.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.3.2.2.2

Tambahkan $- \sqrt{2}$ dan $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{0}{2}$

Langkah 4.3.2.2.3

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 0$

Langkah 4.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 4.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\frac{5 π}{4}$ dalam $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ adalah $(\frac{5 π}{4}, 0)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{5 π}{4}, 0)$

Langkah 4.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(\frac{π}{4}, 0), (\frac{5 π}{4}, 0)$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}) \cup (\frac{5 π}{4}, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{π}{4})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.68539816$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.68539816) = - \sin (0.68539816) + \cos (0.68539816)$

Langkah 6.2

Jawaban akhirnya adalah $- \sin (0.68539816) + \cos (0.68539816)$ .

$- \sin (0.68539816) + \cos (0.68539816)$

Langkah 6.3

Pada $0.68539816$ , turunan keduanya adalah $0.14118577$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty, \frac{π}{4})$ .

Meningkat pada $(- \infty, \frac{π}{4})$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $2.35619449$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (2.35619449) = - \sin (2.35619449) + \cos (2.35619449)$

Langkah 7.2

Jawaban akhirnya adalah $- \sin (2.35619449) + \cos (2.35619449)$ .

$- \sin (2.35619449) + \cos (2.35619449)$

Langkah 7.3

Pada $2.35619449$ , turunan kedua adalah $- 1.41421356$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4})$

Menurun pada $(\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4})$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{5 π}{4}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $4.02699081$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (4.02699081) = - \sin (4.02699081) + \cos (4.02699081)$

Langkah 8.2

Jawaban akhirnya adalah $- \sin (4.02699081) + \cos (4.02699081)$ .

$- \sin (4.02699081) + \cos (4.02699081)$

Langkah 8.3

Pada $4.02699081$ , turunan keduanya adalah $0.14118577$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(\frac{5 π}{4}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{5 π}{4}, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 9

Titik belok adalah sebuah titik pada kurva di mana kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik-titik belok dalam kasus ini adalah $(\frac{π}{4}, 0), (\frac{5 π}{4}, 0)$ .

$(\frac{π}{4}, 0), (\frac{5 π}{4}, 0)$

Langkah 10