Kalkulus Contoh

$\frac{3 x e^{x^{2}} + 8}{y}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 3 x e^{x^{2}} + 8$ dan $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [3 x e^{x^{2}} + 8] - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x e^{x^{2}} + 8$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{y (\frac{d}{d x} [3 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x e^{x^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x e^{x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$\frac{y (3 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$\frac{y (3 (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$\frac{y (3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$\frac{y (3 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{y (3 (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{y (3 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{y (3 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 3.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{y (3 (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 3.7

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{y (3 (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 3.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{y (3 (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 3.9

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{y (3 (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 3.10

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{x^{2}}$ .

$\frac{y (3 (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 3.11

Kalikan $e^{x^{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{y (3 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 4

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{y (3 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + 0) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y (3 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 3 e^{x^{2}} + 0) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{y (6 (x^{2} (e^{x^{2}})) + 3 e^{x^{2}} + 0) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $6 x^{2} e^{x^{2}} + 3 e^{x^{2}}$ dan $0$ .

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}} + 3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 5.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{y (6 e^{x^{2}} x^{2} + 3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 5.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $6 e^{x^{2}} x^{2} + 3 e^{x^{2}}$ .

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}} + 3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 6

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}} + 3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \cdot 0}{y^{2}}$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}}) + y (3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \cdot 0}{y^{2}}$

Langkah 7.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}}) + y (3 e^{x^{2}}) + (- (3 x e^{x^{2}}) - 1 \cdot 8) \cdot 0}{y^{2}}$

Langkah 7.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}}) + y (3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}}) \cdot 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Langkah 7.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + y (3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}}) \cdot 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Langkah 7.4.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} - (3 x e^{x^{2}}) \cdot 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Langkah 7.4.1.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} - 3 (x e^{x^{2}}) \cdot 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Langkah 7.4.1.4

Kalikan $- 3 x e^{x^{2}} \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.4.1

Kalikan $0$ dengan $- 3$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 x e^{x^{2}} - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Langkah 7.4.1.4.2

Kalikan $0$ dengan $x$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 e^{x^{2}} - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Langkah 7.4.1.4.3

Kalikan $0$ dengan $e^{x^{2}}$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Langkah 7.4.1.5

Kalikan $- 1 \cdot 8 \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 - 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Langkah 7.4.1.5.2

Kalikan $- 8$ dengan $0$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 + 0}{y^{2}}$

Langkah 7.4.2

Gabungkan suku balikan dalam $6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1

Tambahkan $6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}}$ dan $0$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0}{y^{2}}$

Langkah 7.4.2.2

Tambahkan $6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}}$ dan $0$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}}}{y^{2}}$

Langkah 7.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{6 e^{x^{2}} x^{2} y + 3 e^{x^{2}} y}{y^{2}}$

Langkah 7.6

Faktorkan $3 e^{x^{2}} y$ dari $6 e^{x^{2}} x^{2} y + 3 e^{x^{2}} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Faktorkan $3 e^{x^{2}} y$ dari $6 e^{x^{2}} x^{2} y$ .

$\frac{3 e^{x^{2}} y (2 x^{2}) + 3 e^{x^{2}} y}{y^{2}}$

Langkah 7.6.2

Faktorkan $3 e^{x^{2}} y$ dari $3 e^{x^{2}} y$ .

$\frac{3 e^{x^{2}} y (2 x^{2}) + 3 e^{x^{2}} y (1)}{y^{2}}$

Langkah 7.6.3

Faktorkan $3 e^{x^{2}} y$ dari $3 e^{x^{2}} y (2 x^{2}) + 3 e^{x^{2}} y (1)$ .

$\frac{3 e^{x^{2}} y (2 x^{2} + 1)}{y^{2}}$

Langkah 7.7

Hapus faktor persekutuan dari $y$ dan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.1

Faktorkan $y$ dari $3 e^{x^{2}} y (2 x^{2} + 1)$ .

$\frac{y (3 e^{x^{2}} (2 x^{2} + 1))}{y^{2}}$

Langkah 7.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.2.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\frac{y (3 e^{x^{2}} (2 x^{2} + 1))}{y \cdot y}$

Langkah 7.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (3 e^{x^{2}} (2 x^{2} + 1))}{y \cdot y}$

Langkah 7.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 e^{x^{2}} (2 x^{2} + 1)}{y}$