Kalkulus Contoh

$\arctan (2 x - x^{2})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arctan (x)$ dan $g (x) = 2 x - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Langkah 1.1.1.2

Turunan dari $\arctan (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Langkah 1.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x - x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Langkah 1.1.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Langkah 1.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Langkah 1.1.2.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Langkah 1.1.2.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 1.1.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - (2 x))$

Langkah 1.1.2.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.7.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - 2 x)$

Langkah 1.1.2.7.2

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - 2 x)$ .

$f' (x) = (2 - 2 x) \frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}})$ .

$(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}})$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}) = 0$

Langkah 2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 - 2 x = 0$

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} = 0$

Langkah 2.3

Atur $2 - 2 x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Atur $2 - 2 x$ sama dengan $0$ .

$2 - 2 x = 0$

Langkah 2.3.2

Selesaikan $2 - 2 x = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 x = - 2$

Langkah 2.3.2.2

Bagi setiap suku pada $- 2 x = - 2$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- 2 x = - 2$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Langkah 2.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Langkah 2.3.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 2}$

Langkah 2.3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.3.1

Bagilah $- 2$ dengan $- 2$ .

$x = 1$

Langkah 2.4

Atur $\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}$ sama dengan $0$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$1 = 0$

Langkah 2.4.2.2

Karena $1 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}) = 0$ benar.

$x = 1$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 4

Evaluasi $\arctan (2 x - x^{2})$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$\arctan (2 (1) - {(1)}^{2})$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\arctan (2 - {(1)}^{2})$

Langkah 4.1.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\arctan (2 - 1 \cdot 1)$

Langkah 4.1.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\arctan (2 - 1)$

Langkah 4.1.2.2

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\arctan (1)$

Langkah 4.1.2.3

Nilai eksak dari $\arctan (1)$ adalah $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{4}$

Langkah 4.2

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(1, \frac{π}{4})$

Langkah 5