Kalkulus Contoh

$e^{x} - e^{3 x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} - e^{3 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- e^{3 x}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x$ .

$e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Langkah 1.1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])$

Langkah 1.1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$e^{x} - (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Langkah 1.1.3.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 1.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{x} - (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

Langkah 1.1.3.5

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$e^{x} - (e^{3 x} \cdot 3)$

Langkah 1.1.3.6

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e^{3 x}$ .

$e^{x} - (3 \cdot e^{3 x})$

Langkah 1.1.3.7

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 e^{3 x}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $e^{x} - 3 e^{3 x}$ .

$e^{x} - 3 e^{3 x}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $e^{x} - 3 e^{3 x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$e^{x} - 3 e^{3 x} = 0$

Langkah 2.2

Pindahkan $- 3 e^{3 x}$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkannya ke kedua sisinya.

$e^{x} = 3 e^{3 x}$

Langkah 2.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (3 e^{3 x})$

Langkah 2.4

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Perluas $\ln (e^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$x \ln (e) = \ln (3 e^{3 x})$

Langkah 2.4.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3 e^{3 x})$

Langkah 2.4.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x = \ln (3 e^{3 x})$

Langkah 2.5

Perluas sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali $\ln (3 e^{3 x})$ sebagai $\ln (3) + \ln (e^{3 x})$ .

$x = \ln (3) + \ln (e^{3 x})$

Langkah 2.5.2

Perluas $\ln (e^{3 x})$ dengan memindahkan $3 x$ ke luar logaritma.

$x = \ln (3) + 3 x \ln (e)$

Langkah 2.5.3

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$x = \ln (3) + 3 x \cdot 1$

Langkah 2.5.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$x = \ln (3) + 3 x$

Langkah 2.6

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Kurangkan $3 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x - 3 x = \ln (3)$

Langkah 2.6.2

Kurangi $3 x$ dengan $x$ .

$- 2 x = \ln (3)$

Langkah 2.7

Bagi setiap suku pada $- 2 x = \ln (3)$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Bagilah setiap suku di $- 2 x = \ln (3)$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\ln (3)}{- 2}$

Langkah 2.7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\ln (3)}{- 2}$

Langkah 2.7.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{- 2}$

Langkah 2.7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{\ln (3)}{2}$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 4

Evaluasi $e^{x} - e^{3 x}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = - \frac{\ln (3)}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $- \frac{\ln (3)}{2}$ untuk $x$ .

$e^{- \frac{\ln (3)}{2}} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Tulis kembali $\frac{\ln (3)}{2}$ sebagai $\frac{1}{2} \ln (3)$ .

$e^{- (\frac{1}{2} \ln (3))} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Langkah 4.1.2.1.2

Sederhanakan $\frac{1}{2} \ln (3)$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

$e^{- \ln (3^{\frac{1}{2}})} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Langkah 4.1.2.1.3

Sederhanakan $- \ln (3^{\frac{1}{2}})$ dengan memindahkan $- 1$ ke dalam logaritma.

$e^{\ln ({(3^{\frac{1}{2}})}^{- 1})} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Langkah 4.1.2.1.4

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

${(3^{\frac{1}{2}})}^{- 1} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Langkah 4.1.2.1.5

Kalikan eksponen dalam ${(3^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot - 1} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Langkah 4.1.2.1.5.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$3^{\frac{- 1}{2}} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Langkah 4.1.2.1.5.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$3^{- \frac{1}{2}} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Langkah 4.1.2.1.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Langkah 4.1.2.1.7

Tulis kembali $\frac{\ln (3)}{2}$ sebagai $\frac{1}{2} \ln (3)$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{3 (- (\frac{1}{2} \ln (3)))}$

Langkah 4.1.2.1.8

Sederhanakan $\frac{1}{2} \ln (3)$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{3 (- \ln (3^{\frac{1}{2}}))}$

Langkah 4.1.2.1.9

Kalikan $3 (- \ln (3^{\frac{1}{2}}))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{- 3 \ln (3^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 4.1.2.1.9.2

Sederhanakan $- 3 \ln (3^{\frac{1}{2}})$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{- \ln ({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})}$

Langkah 4.1.2.1.10

Sederhanakan $- \ln ({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})$ dengan memindahkan $- 1$ ke dalam logaritma.

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{\ln ({({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})}^{- 1})}$

Langkah 4.1.2.1.11

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - {({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})}^{- 1}$

Langkah 4.1.2.1.12

Kalikan eksponen dalam ${({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.12.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{3 \cdot - 1}$

Langkah 4.1.2.1.12.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$

Langkah 4.1.2.1.13

Kalikan eksponen dalam ${(3^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.13.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{2} \cdot - 3}$

Langkah 4.1.2.1.13.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 3$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{- 3}{2}}$

Langkah 4.1.2.1.13.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - 3^{- \frac{3}{2}}$

Langkah 4.1.2.1.14

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.1.2.2

Untuk menuliskan $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.1.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $3^{\frac{3}{2}}$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.1.2.3.2

Kalikan $3^{\frac{1}{2}}$ dengan $3^{\frac{2}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.1.2.3.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1 + 2}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.1.2.3.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.1.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3^{\frac{2}{2}} - 1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.1.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.5.1

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{3^{1} - 1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.1.2.5.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 - 1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.1.2.5.3

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$\frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.2

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- \frac{\ln (3)}{2}, \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}})$

Langkah 5