Kalkulus Contoh

$\sin (6 x) + \cos (6 x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin (6 x) + \cos (6 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 6 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $6 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Langkah 1.1.2.1.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Langkah 1.1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $6 x$ .

$\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Langkah 1.1.2.2

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Langkah 1.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\cos (6 x) (6 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Langkah 1.1.2.4

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$\cos (6 x) \cdot 6 + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Langkah 1.1.2.5

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $\cos (6 x)$ .

$6 \cos (6 x) + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 6 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $6 x$ .

$6 \cos (6 x) + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x]$

Langkah 1.1.3.1.2

Turunan dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $- \sin (u_{2})$ .

$6 \cos (6 x) - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x]$

Langkah 1.1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $6 x$ .

$6 \cos (6 x) - \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]$

Langkah 1.1.3.2

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \cos (6 x) - \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 \cos (6 x) - \sin (6 x) (6 \cdot 1)$

Langkah 1.1.3.4

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$6 \cos (6 x) - \sin (6 x) \cdot 6$

Langkah 1.1.3.5

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = 6 \cos (6 x) - 6 \sin (6 x)$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $6 \cos (6 x) - 6 \sin (6 x)$ .

$6 \cos (6 x) - 6 \sin (6 x)$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $6 \cos (6 x) - 6 \sin (6 x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$6 \cos (6 x) - 6 \sin (6 x) = 0$

Langkah 2.2

Bagilah setiap suku dalam persamaan tersebut dengan $\cos (6 x)$ .

$\frac{6 \cos (6 x)}{\cos (6 x)} + \frac{- 6 \sin (6 x)}{\cos (6 x)} = \frac{0}{\cos (6 x)}$

Langkah 2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (6 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 \cos (6 x)}{\cos (6 x)} + \frac{- 6 \sin (6 x)}{\cos (6 x)} = \frac{0}{\cos (6 x)}$

Langkah 2.3.2

Bagilah $6$ dengan $1$ .

$6 + \frac{- 6 \sin (6 x)}{\cos (6 x)} = \frac{0}{\cos (6 x)}$

Langkah 2.4

Pisahkan pecahan.

$6 + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)} = \frac{0}{\cos (6 x)}$

Langkah 2.5

Konversikan dari $\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ ke $\tan (6 x)$ .

$6 + \frac{- 6}{1} \cdot \tan (6 x) = \frac{0}{\cos (6 x)}$

Langkah 2.6

Bagilah $- 6$ dengan $1$ .

$6 - 6 \tan (6 x) = \frac{0}{\cos (6 x)}$

Langkah 2.7

Pisahkan pecahan.

$6 - 6 \tan (6 x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (6 x)}$

Langkah 2.8

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (6 x)}$ ke $\sec (6 x)$ .

$6 - 6 \tan (6 x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (6 x)$

Langkah 2.9

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$6 - 6 \tan (6 x) = 0 \sec (6 x)$

Langkah 2.10

Kalikan $0$ dengan $\sec (6 x)$ .

$6 - 6 \tan (6 x) = 0$

Langkah 2.11

Kurangkan $6$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 6 \tan (6 x) = - 6$

Langkah 2.12

Bagi setiap suku pada $- 6 \tan (6 x) = - 6$ dengan $- 6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.1

Bagilah setiap suku di $- 6 \tan (6 x) = - 6$ dengan $- 6$ .

$\frac{- 6 \tan (6 x)}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Langkah 2.12.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 6 \tan (6 x)}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Langkah 2.12.2.1.2

Bagilah $\tan (6 x)$ dengan $1$ .

$\tan (6 x) = \frac{- 6}{- 6}$

Langkah 2.12.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.3.1

Bagilah $- 6$ dengan $- 6$ .

$\tan (6 x) = 1$

Langkah 2.13

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam tangen.

$6 x = \arctan (1)$

Langkah 2.14

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.14.1

Nilai eksak dari $\arctan (1)$ adalah $\frac{π}{4}$ .

$6 x = \frac{π}{4}$

Langkah 2.15

Bagi setiap suku pada $6 x = \frac{π}{4}$ dengan $6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.15.1

Bagilah setiap suku di $6 x = \frac{π}{4}$ dengan $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{\frac{π}{4}}{6}$

Langkah 2.15.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.15.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.15.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\frac{π}{4}}{6}$

Langkah 2.15.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{6}$

Langkah 2.15.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.15.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{6}$

Langkah 2.15.3.2

Kalikan $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.15.3.2.1

Kalikan $\frac{π}{4}$ dengan $\frac{1}{6}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 6}$

Langkah 2.15.3.2.2

Kalikan $4$ dengan $6$ .

$x = \frac{π}{24}$

Langkah 2.16

Fungsi tangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaiannya di kuadran keempat.

$6 x = π + \frac{π}{4}$

Langkah 2.17

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.17.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.17.1.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$6 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Langkah 2.17.1.2

Gabungkan $π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$6 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Langkah 2.17.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$6 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Langkah 2.17.1.4

Tambahkan $π \cdot 4$ dan $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.17.1.4.1

Susun kembali $π$ dan $4$ .

$6 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Langkah 2.17.1.4.2

Tambahkan $4 \cdot π$ dan $π$ .

$6 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Langkah 2.17.2

Bagi setiap suku pada $6 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ dengan $6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.17.2.1

Bagilah setiap suku di $6 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ dengan $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{6}$

Langkah 2.17.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.17.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.17.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{6}$

Langkah 2.17.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{6}$

Langkah 2.17.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.17.2.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{6}$

Langkah 2.17.2.3.2

Kalikan $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.17.2.3.2.1

Kalikan $\frac{5 π}{4}$ dengan $\frac{1}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 6}$

Langkah 2.17.2.3.2.2

Kalikan $4$ dengan $6$ .

$x = \frac{5 π}{24}$

Langkah 2.18

Tentukan periode dari $\tan (6 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.18.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Langkah 2.18.2

Ganti $b$ dengan $6$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{π}{| 6 |}$

Langkah 2.18.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $6$ adalah $6$ .

$\frac{π}{6}$

Langkah 2.19

Periode dari fungsi $\tan (6 x)$ adalah $\frac{π}{6}$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $\frac{π}{6}$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{6}, \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{6}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 4

Evaluasi $\sin (6 x) + \cos (6 x)$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = \frac{π}{24}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $\frac{π}{24}$ untuk $x$ .

$\sin (6 (\frac{π}{24})) + \cos (6 (\frac{π}{24}))$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1.1

Faktorkan $6$ dari $24$ .

$\sin (6 \frac{π}{6 (4)}) + \cos (6 (\frac{π}{24}))$

Langkah 4.1.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin (6 \frac{π}{6 \cdot 4}) + \cos (6 (\frac{π}{24}))$

Langkah 4.1.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\sin (\frac{π}{4}) + \cos (6 (\frac{π}{24}))$

Langkah 4.1.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (6 (\frac{π}{24}))$

Langkah 4.1.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.3.1

Faktorkan $6$ dari $24$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (6 \frac{π}{6 (4)})$

Langkah 4.1.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (6 \frac{π}{6 \cdot 4})$

Langkah 4.1.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Langkah 4.1.2.1.4

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.1.2.2.2

Tambahkan $\sqrt{2}$ dan $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.1.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.1.2.2.3.2

Bagilah $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$\sqrt{2}$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = \frac{5 π}{24}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $\frac{5 π}{24}$ untuk $x$ .

$\sin (6 (\frac{5 π}{24})) + \cos (6 (\frac{5 π}{24}))$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1.1

Faktorkan $6$ dari $24$ .

$\sin (6 \frac{5 π}{6 (4)}) + \cos (6 (\frac{5 π}{24}))$

Langkah 4.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin (6 \frac{5 π}{6 \cdot 4}) + \cos (6 (\frac{5 π}{24}))$

Langkah 4.2.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\sin (\frac{5 π}{4}) + \cos (6 (\frac{5 π}{24}))$

Langkah 4.2.2.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran ketiga.

$- \sin (\frac{π}{4}) + \cos (6 (\frac{5 π}{24}))$

Langkah 4.2.2.1.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (6 (\frac{5 π}{24}))$

Langkah 4.2.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.4.1

Faktorkan $6$ dari $24$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (6 \frac{5 π}{6 (4)})$

Langkah 4.2.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (6 \frac{5 π}{6 \cdot 4})$

Langkah 4.2.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4})$

Langkah 4.2.2.1.5

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran ketiga.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Langkah 4.2.2.1.6

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.2.2.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.2.2.2.2

Kurangi $\sqrt{2}$ dengan $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.2.2.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Langkah 4.2.2.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Langkah 4.2.2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.2.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Langkah 4.2.2.2.3.2.4

Bagilah $- \sqrt{2}$ dengan $1$ .

$- \sqrt{2}$

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(\frac{π}{24} + \frac{π n}{3}, \sqrt{2}), (\frac{5 π}{24} + \frac{π n}{3}, - \sqrt{2})$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5