Kalkulus Contoh

$6 \sin (x) + \sin (2 x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Langkah 1.1.2.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.3.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$6 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Langkah 1.1.3.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Langkah 1.1.3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ .

$6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$6 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = 0$

Langkah 2.2

Gunakan identitas sudut ganda untuk mengubah $\cos (2 x)$ menjadi $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$6 \cos (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Langkah 2.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Terapkan sifat distributif.

$6 \cos (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$6 \cos (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Langkah 2.3.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Langkah 2.4

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Ganti $- 4 \sin^{2} (x)$ dengan $- 4 (1 - \cos^{2} (x))$ berdasarkan identitas $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Terapkan sifat distributif.

$6 \cos (x) + 2 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Langkah 2.4.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Langkah 2.4.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Langkah 2.4.3

Kurangi $4$ dengan $2$ .

$6 \cos (x) - 2 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Langkah 2.4.4

Susun ulang polinomial tersebut.

$4 \cos^{2} (x) + 6 \cos (x) - 2 = 0$

Langkah 2.4.5

Substitusikan $u$ untuk $\cos (x)$ .

$4 {(u)}^{2} + 6 (u) - 2 = 0$

Langkah 2.4.6

Faktorkan $2$ dari $4 u^{2} + 6 u - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.6.1

Faktorkan $2$ dari $4 u^{2}$ .

$2 (2 u^{2}) + 6 u - 2 = 0$

Langkah 2.4.6.2

Faktorkan $2$ dari $6 u$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (3 u) - 2 = 0$

Langkah 2.4.6.3

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (3 u) + 2 (- 1) = 0$

Langkah 2.4.6.4

Faktorkan $2$ dari $2 (2 u^{2}) + 2 (3 u)$ .

$2 (2 u^{2} + 3 u) + 2 (- 1) = 0$

Langkah 2.4.6.5

Faktorkan $2$ dari $2 (2 u^{2} + 3 u) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$

Langkah 2.4.7

Bagi setiap suku pada $2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.7.1

Bagilah setiap suku di $2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 (2 u^{2} + 3 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 2.4.7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (2 u^{2} + 3 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 2.4.7.2.1.2

Bagilah $2 u^{2} + 3 u - 1$ dengan $1$ .

$2 u^{2} + 3 u - 1 = \frac{0}{2}$

Langkah 2.4.7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.7.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$2 u^{2} + 3 u - 1 = 0$

Langkah 2.4.8

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 2.4.9

Substitusikan nilai-nilai $a = 2$ , $b = 3$ , dan $c = - 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $u$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 2.4.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.10.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.10.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 2.4.10.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.10.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 2.4.10.1.2.2

Kalikan $- 8$ dengan $- 1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Langkah 2.4.10.1.3

Tambahkan $9$ dan $8$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Langkah 2.4.10.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Langkah 2.4.11

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.11.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.11.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 2.4.11.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.11.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 2.4.11.1.2.2

Kalikan $- 8$ dengan $- 1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Langkah 2.4.11.1.3

Tambahkan $9$ dan $8$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Langkah 2.4.11.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Langkah 2.4.11.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$u = \frac{- 3 + \sqrt{17}}{4}$

Langkah 2.4.11.4

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{17}}{4}$

Langkah 2.4.11.5

Faktorkan $- 1$ dari $\sqrt{17}$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{17})}{4}$

Langkah 2.4.11.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{17})$ .

$u = \frac{- 1 (3 - \sqrt{17})}{4}$

Langkah 2.4.11.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$u = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Langkah 2.4.12

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.12.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.12.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 2.4.12.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.12.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 2.4.12.1.2.2

Kalikan $- 8$ dengan $- 1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Langkah 2.4.12.1.3

Tambahkan $9$ dan $8$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Langkah 2.4.12.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Langkah 2.4.12.3

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$u = \frac{- 3 - \sqrt{17}}{4}$

Langkah 2.4.12.4

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{17}}{4}$

Langkah 2.4.12.5

Faktorkan $- 1$ dari $- \sqrt{17}$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{17})}{4}$

Langkah 2.4.12.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (3) - (\sqrt{17})$ .

$u = \frac{- 1 (3 + \sqrt{17})}{4}$

Langkah 2.4.12.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$u = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Langkah 2.4.13

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$u = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Langkah 2.4.14

Substitusikan $\cos (x)$ untuk $u$ .

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Langkah 2.4.15

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Langkah 2.4.16

Selesaikan $x$ dalam $\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.16.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$

Langkah 2.4.16.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.16.2.1

Evaluasi $\arccos (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$ .

$x = 1.28619336$

Langkah 2.4.16.3

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = 2 (3.14159265) - 1.28619336$

Langkah 2.4.16.4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.16.4.1

Hilangkan tanda kurung.

$x = 2 (3.14159265) - 1.28619336$

Langkah 2.4.16.4.2

Sederhanakan $2 (3.14159265) - 1.28619336$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.16.4.2.1

Kalikan $2$ dengan $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.28619336$

Langkah 2.4.16.4.2.2

Kurangi $1.28619336$ dengan $6.2831853$ .

$x = 4.99699194$

Langkah 2.4.16.5

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.16.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 2.4.16.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 2.4.16.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 2.4.16.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 2.4.16.6

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 1.28619336 + 2 π n, 4.99699194 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.4.17

Selesaikan $x$ dalam $\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.17.1

Jangkauan kosinusnya adalah $- 1 \leq y \leq 1$ . Karena $- \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ tidak berada pada jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2.4.18

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = 1.28619336 + 2 π n, 4.99699194 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 4

Evaluasi $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 1.28619336$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $1.28619336$ untuk $x$ .

$6 \sin (1.28619336) + \sin (2 (1.28619336))$

Langkah 4.1.2

Kalikan $2$ dengan $1.28619336$ .

$6 \sin (1.28619336) + \sin (2.57238673)$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = 4.99699194$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $4.99699194$ untuk $x$ .

$6 \sin (4.99699194) + \sin (2 (4.99699194))$

Langkah 4.2.2

Kalikan $2$ dengan $4.99699194$ .

$6 \sin (4.99699194) + \sin (9.99398388)$

Langkah 4.3

Evaluasi pada $x = 4.99699194 + 2 π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $4.99699194 + 2 π$ untuk $x$ .

$6 \sin (4.99699194 + 2 π) + \sin (2 (4.99699194 + 2 π))$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Tambahkan $4.99699194$ dan $2 π$ .

$6 \sin (11.28017724) + \sin (2 (4.99699194 + 2 π))$

Langkah 4.3.2.2

Tambahkan $4.99699194$ dan $2 π$ .

$6 \sin (11.28017724) + \sin (2 \cdot 11.28017724)$

Langkah 4.3.2.3

Kalikan $2$ dengan $11.28017724$ .

$6 \sin (11.28017724) + \sin (22.56035449)$

Langkah 4.4

Evaluasi pada $x = 4.99699194 + 4 π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Substitusikan $4.99699194 + 4 π$ untuk $x$ .

$6 \sin (4.99699194 + 4 π) + \sin (2 (4.99699194 + 4 π))$

Langkah 4.4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1

Tambahkan $4.99699194$ dan $4 π$ .

$6 \sin (17.56336255) + \sin (2 (4.99699194 + 4 π))$

Langkah 4.4.2.2

Tambahkan $4.99699194$ dan $4 π$ .

$6 \sin (17.56336255) + \sin (2 \cdot 17.56336255)$

Langkah 4.4.2.3

Kalikan $2$ dengan $17.56336255$ .

$6 \sin (17.56336255) + \sin (35.12672511)$

Langkah 4.5

Evaluasi pada $x = 4.99699194 + 6 π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Substitusikan $4.99699194 + 6 π$ untuk $x$ .

$6 \sin (4.99699194 + 6 π) + \sin (2 (4.99699194 + 6 π))$

Langkah 4.5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1

Tambahkan $4.99699194$ dan $6 π$ .

$6 \sin (23.84654786) + \sin (2 (4.99699194 + 6 π))$

Langkah 4.5.2.2

Tambahkan $4.99699194$ dan $6 π$ .

$6 \sin (23.84654786) + \sin (2 \cdot 23.84654786)$

Langkah 4.5.2.3

Kalikan $2$ dengan $23.84654786$ .

$6 \sin (23.84654786) + \sin (47.69309572)$

Langkah 4.6

Evaluasi pada $x = 4.99699194 + 8 π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Substitusikan $4.99699194 + 8 π$ untuk $x$ .

$6 \sin (4.99699194 + 8 π) + \sin (2 (4.99699194 + 8 π))$

Langkah 4.6.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.2.1

Tambahkan $4.99699194$ dan $8 π$ .

$6 \sin (30.12973317) + \sin (2 (4.99699194 + 8 π))$

Langkah 4.6.2.2

Tambahkan $4.99699194$ dan $8 π$ .

$6 \sin (30.12973317) + \sin (2 \cdot 30.12973317)$

Langkah 4.6.2.3

Kalikan $2$ dengan $30.12973317$ .

$6 \sin (30.12973317) + \sin (60.25946634)$

Langkah 4.7

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(1.28619336 + 2 π n, 6 \sin (1.28619336) + \sin (2.57238673)), (4.99699194, 6 \sin (4.99699194) + \sin (9.99398388)), (4.99699194 + 2 π, 6 \sin (11.28017724) + \sin (22.56035449)), (4.99699194 + 4 π, 6 \sin (17.56336255) + \sin (35.12672511)), (4.99699194 + 6 π, 6 \sin (23.84654786) + \sin (47.69309572)), (4.99699194 + 8 π, 6 \sin (30.12973317) + \sin (60.25946634))$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5