Kalkulus Contoh

$2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Langkah 1.1.2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \cos (2 x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.1.3.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.1.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 1.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Langkah 1.1.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Langkah 1.1.3.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Langkah 1.1.3.7

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$f' (x) = - 2 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$ .

$- 2 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 2 \sin (x) - 4 \sin (2 x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 2 \sin (x) - 4 \sin (2 x) = 0$

Langkah 2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$- 2 \sin (x) - 4 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Langkah 2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$- 2 \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x) = 0$

Langkah 2.3

Faktorkan $2 \sin (x)$ dari $- 2 \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Faktorkan $2 \sin (x)$ dari $- 2 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 1 - 8 \sin (x) \cos (x) = 0$

Langkah 2.3.2

Faktorkan $2 \sin (x)$ dari $- 8 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (- 4 \cos (x)) = 0$

Langkah 2.3.3

Faktorkan $2 \sin (x)$ dari $2 \sin (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (- 4 \cos (x))$ .

$2 \sin (x) (- 1 - 4 \cos (x)) = 0$

Langkah 2.4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 1 - 4 \cos (x) = 0$

Langkah 2.5

Atur $\sin (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $\sin (x)$ sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $\sin (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (0)$

Langkah 2.5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.5.2.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - 0$

Langkah 2.5.2.4

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = π$

Langkah 2.5.2.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 2.5.2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 2.5.2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 2.5.2.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 2.5.2.6

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.6

Atur $- 1 - 4 \cos (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Atur $- 1 - 4 \cos (x)$ sama dengan $0$ .

$- 1 - 4 \cos (x) = 0$

Langkah 2.6.2

Selesaikan $- 1 - 4 \cos (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$- 4 \cos (x) = 1$

Langkah 2.6.2.2

Bagi setiap suku pada $- 4 \cos (x) = 1$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- 4 \cos (x) = 1$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

Langkah 2.6.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

Langkah 2.6.2.2.2.1.2

Bagilah $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{- 4}$

Langkah 2.6.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\cos (x) = - \frac{1}{4}$

Langkah 2.6.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (- \frac{1}{4})$

Langkah 2.6.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.4.1

Evaluasi $\arccos (- \frac{1}{4})$ .

$x = 1.82347658$

Langkah 2.6.2.5

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = 2 (3.14159265) - 1.82347658$

Langkah 2.6.2.6

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.6.1

Hilangkan tanda kurung.

$x = 2 (3.14159265) - 1.82347658$

Langkah 2.6.2.6.2

Sederhanakan $2 (3.14159265) - 1.82347658$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.6.2.1

Kalikan $2$ dengan $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.82347658$

Langkah 2.6.2.6.2.2

Kurangi $1.82347658$ dengan $6.2831853$ .

$x = 4.45970872$

Langkah 2.6.2.7

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 2.6.2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 2.6.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 2.6.2.7.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 2.6.2.8

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 1.82347658 + 2 π n, 4.45970872 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $2 \sin (x) (- 1 - 4 \cos (x)) = 0$ benar.

$x = 2 π n, π + 2 π n, 1.82347658 + 2 π n, 4.45970872 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 4

Evaluasi $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$2 \cos (0) + 2 \cos (2 (0))$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$2 \cdot 1 + 2 \cos (2 (0))$

Langkah 4.1.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + 2 \cos (2 (0))$

Langkah 4.1.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$2 + 2 \cos (0)$

Langkah 4.1.2.1.4

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$2 + 2 \cdot 1$

Langkah 4.1.2.1.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + 2$

Langkah 4.1.2.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$4$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $π$ untuk $x$ .

$2 \cos (π) + 2 \cos (2 (π))$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$2 (- \cos (0)) + 2 \cos (2 (π))$

Langkah 4.2.2.1.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) + 2 \cos (2 (π))$

Langkah 4.2.2.1.3

Kalikan $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 \cdot - 1 + 2 \cos (2 (π))$

Langkah 4.2.2.1.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 + 2 \cos (2 (π))$

Langkah 4.2.2.1.4

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$- 2 + 2 \cos (0)$

Langkah 4.2.2.1.5

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- 2 + 2 \cdot 1$

Langkah 4.2.2.1.6

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- 2 + 2$

Langkah 4.2.2.2

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$0$

Langkah 4.3

Evaluasi pada $x = 1.82347658$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $1.82347658$ untuk $x$ .

$2 \cos (1.82347658) + 2 \cos (2 (1.82347658))$

Langkah 4.3.2

Kalikan $2$ dengan $1.82347658$ .

$2 \cos (1.82347658) + 2 \cos (3.64695316)$

Langkah 4.4

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0 + 2 π n, 4), (π + 2 π n, 0), (1.82347658 + 2 π n, 2 \cos (1.82347658) + 2 \cos (3.64695316))$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5