Kalkulus Contoh

$\frac{x - 9}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x + 2}}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{x - 9}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x + 2}}$ tidak terdefinisi.

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 2

Asimtot tegak terjadi pada daerah diskontinuitas tanpa batas.

Tidak Ada Asimtot Tegak

Langkah 3

Evaluasi $lim_{x \to \infty} \frac{x - 9}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x + 2}}$ untuk mencari asimtot datarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{- 9}{x}}{\sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 3.2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{\sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{\sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 3.2.2.1.2

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{\sqrt{4 + \frac{3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 3.2.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{\sqrt{4 + \frac{x \cdot 3}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{\sqrt{4 + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 3.2.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{\sqrt{4 + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 3.2.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{\sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 3.2.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{9}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 3.2.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 3.2.5

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 3.2.6

Pindahkan suku $9$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1 - 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 3.3

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 3.4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 3.4.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 3.4.3

Evaluasi limit dari $4$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{\sqrt{4 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 3.4.4

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{\sqrt{4 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 3.5

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{\sqrt{4 + 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 3.6

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{\sqrt{4 + 3 \cdot 0 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 3.7

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x^{2}}$ mendekati $0$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{\sqrt{4 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}}$

Langkah 3.8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1.1

Kalikan $- 9$ dengan $0$ .

$\frac{1 + 0}{\sqrt{4 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}}$

Langkah 3.8.1.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}}$

Langkah 3.8.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.1

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 + 0 + 2 \cdot 0}}$

Langkah 3.8.2.2

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 + 0 + 0}}$

Langkah 3.8.2.3

Tambahkan $4 + 0$ dan $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 + 0}}$

Langkah 3.8.2.4

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{4}}$

Langkah 3.8.2.5

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Langkah 3.8.2.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{1}{2}$

Langkah 4

Evaluasi $lim_{x \to - \infty} \frac{x - 9}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x + 2}}$ untuk mencari asimtot datarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{- 9}{x}}{- \sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 4.2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{- \sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{- \sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 4.2.2.1.2

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{- \sqrt{4 + \frac{3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 4.2.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $3 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{- \sqrt{4 + \frac{x \cdot 3}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 4.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{- \sqrt{4 + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 4.2.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{- \sqrt{4 + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 4.2.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{9}{x}}{- \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 4.2.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 4.2.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 4.2.5

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- \infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 4.2.6

Pindahkan suku $9$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1 - 9 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 4.3

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 4.4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 4.4.2

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 4.4.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \infty$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 4 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 4.4.4

Evaluasi limit dari $4$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- \infty$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{- \sqrt{4 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 4.4.5

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{- \sqrt{4 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 4.5

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{- \sqrt{4 + 3 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

Langkah 4.6

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{- \sqrt{4 + 3 \cdot 0 + 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 4.7

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x^{2}}$ mendekati $0$ .

$\frac{1 - 9 \cdot 0}{- \sqrt{4 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}}$

Langkah 4.8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1.1

Kalikan $- 9$ dengan $0$ .

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{4 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}}$

Langkah 4.8.1.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{4 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}}$

Langkah 4.8.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.2.1

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{4 + 0 + 2 \cdot 0}}$

Langkah 4.8.2.2

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{4 + 0 + 0}}$

Langkah 4.8.2.3

Tambahkan $4 + 0$ dan $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{4 + 0}}$

Langkah 4.8.2.4

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{4}}$

Langkah 4.8.2.5

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{1}{- \sqrt{2^{2}}}$

Langkah 4.8.2.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{1}{- 1 \cdot 2}$

Langkah 4.8.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{- 2}$

Langkah 4.8.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{2}$

Langkah 5

Tuliskan asimtot datarnya:

$y = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Langkah 6

Gunakan pembagian polinomial untuk menentukan asimtot miring. Karena pernyataan ini memuat akar, maka pembagian polinomial tidak dapat dilakukan.

Tidak Dapat Mencari Asimtot Miring

Langkah 7

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Tidak Ada Asimtot Tegak

Asimtot Datar: $y = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Tidak Dapat Mencari Asimtot Miring

Langkah 8