Kalkulus Contoh

$\sin (x) - x \cos (x)$

Langkah 1

Tulis $\sin (x) - x \cos (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = \sin (x) - x \cos (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin (x) - x \cos (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \frac{d}{d x} (- x \cos (x))$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) + \frac{d}{d x} (- x \cos (x))$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$f' (x) = \cos (x) - \frac{d}{d x} (x \cos (x))$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.1.3.3

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Langkah 2.1.3.5

Kalikan $\cos (x)$ dengan $1$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Langkah 2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x))) - \cos (x)$

Langkah 2.1.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = \cos (x) + 1 (x (\sin (x))) - \cos (x)$

Langkah 2.1.4.2.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$f' (x) = \cos (x) + x \sin (x) - \cos (x)$

Langkah 2.1.4.2.3

Kurangi $\cos (x)$ dengan $\cos (x)$ .

$f' (x) = x \sin (x) + 0$

Langkah 2.1.4.2.4

Tambahkan $x \sin (x)$ dan $0$ .

$f' (x) = x \sin (x)$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x \sin (x)$ .

$x \sin (x)$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x \sin (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$x \sin (x) = 0$

Langkah 3.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$\sin (x) = 0$

Langkah 3.3

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.4

Atur $\sin (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $\sin (x)$ sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $\sin (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (0)$

Langkah 3.4.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.4.2.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - 0$

Langkah 3.4.2.4

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = π$

Langkah 3.4.2.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.4.2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 3.4.2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 3.4.2.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 3.4.2.6

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x \sin (x) = 0$ benar.

$x = 0, 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.6

Gabungkan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Gabungkan $0$ dan $2 π n$ menjadi $2 π n$ .

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.6.2

Gabungkan jawabannya.

$x = π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $π n$ .

$π n$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = x \sin (x)$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = \sin (x) - x \cos (x)$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ .

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, π n)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $π n - 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (π n - 1) = (π n - 1) \sin (π n - 1)$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (π n - 1) = π n \sin (π n - 1) - 1 \sin (π n - 1)$

Langkah 6.2.2

Tulis kembali $- 1 \sin (π n - 1)$ sebagai $- \sin (π n - 1)$ .

$f' (π n - 1) = π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$ .

$π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$

Langkah 6.3

Pada $x = π n - 1$ , turunannya adalah $π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, π n)$ .

Menurun pada $(- \infty, π n)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(π n, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $π n + 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (π n + 1) = (π n + 1) \sin (π n + 1)$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (π n + 1) = π n \sin (π n + 1) + 1 \sin (π n + 1)$

Langkah 7.2.2

Kalikan $\sin (π n + 1)$ dengan $1$ .

$f' (π n + 1) = π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$ .

$π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$

Langkah 7.3

Pada $x = π n + 1$ , turunannya adalah $π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(π n, \infty)$ .

Meningkat pada $(π n, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(π n, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, π n)$

Langkah 9