Kalkulus Contoh

$\sin (x) + 9$

Langkah 1

Tulis $\sin (x) + 9$ sebagai fungsi.

$f (x) = \sin (x) + 9$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin (x) + 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\cos (x) + 0$

Langkah 2.1.3.2

Tambahkan $\cos (x)$ dan $0$ .

$f' (x) = \cos (x)$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\cos (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\cos (x) = 0$

Langkah 3.2

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (0)$

Langkah 3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 3.4

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 3.5

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 3.5.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 3.5.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 3.5.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 3.6

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.6.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 3.6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 3.6.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 3.7

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.8

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $\frac{π}{2} + π n$ .

$\frac{π}{2} + π n$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = \cos (x)$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = \sin (x) + 9$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{2} + π n - 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{π}{2} + π n - 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Langkah 6.2

Jawaban akhirnya adalah $\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ .

$\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Langkah 6.4

Pada $x = \frac{π}{2} + π n - 1$ , turunannya adalah $\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ .

Menurun pada $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{2} + π n + 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{π}{2} + π n + 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Langkah 7.2

Jawaban akhirnya adalah $\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ .

$\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Langkah 7.4

Pada $x = \frac{π}{2} + π n + 1$ , turunannya adalah $\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$

Langkah 9