Kalkulus Contoh

$\arctan (x^{2} - 2 x)$

Langkah 1

Tulis $\arctan (x^{2} - 2 x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = \arctan (x^{2} - 2 x)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arctan (x)$ dan $g (x) = x^{2} - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Langkah 2.1.1.2

Turunan dari $\arctan (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Langkah 2.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Langkah 2.1.2.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2 \cdot 1)$

Langkah 2.1.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.5.1

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2)$

Langkah 2.1.2.5.2

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2)$ .

$f' (x) = (2 x - 2) \frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}})$ .

$(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}})$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}) = 0$

Langkah 3.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 x - 2 = 0$

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$

Langkah 3.3

Atur $2 x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Atur $2 x - 2$ sama dengan $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Langkah 3.3.2

Selesaikan $2 x - 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = 2$

Langkah 3.3.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 2$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 2$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Langkah 3.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Langkah 3.3.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Langkah 3.3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.3.1

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$x = 1$

Langkah 3.4

Atur $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}$ sama dengan $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$1 = 0$

Langkah 3.4.2.2

Karena $1 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}) = 0$ benar.

$x = 1$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $1$ .

$1$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = (2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}})$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = \arctan (x^{2} - 2 x)$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + {({(0)}^{2} - 2 \cdot 0)}^{2}})$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + {(0 - 2 \cdot 0)}^{2}})$

Langkah 6.2.1.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + {(0 + 0)}^{2}})$

Langkah 6.2.1.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + 0^{2}})$

Langkah 6.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + 0})$

Langkah 6.2.1.4

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1})$

Langkah 6.2.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1})$

Langkah 6.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (0) = (2 (0) - 2) \cdot 1$

Langkah 6.2.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Kalikan $2 (0) - 2$ dengan $1$ .

$f' (0) = 2 (0) - 2$

Langkah 6.2.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$f' (0) = 0 - 2$

Langkah 6.2.2.2.3

Kurangi $2$ dengan $0$ .

$f' (0) = - 2$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 2$ .

$- 2$

Langkah 6.3

Pada $x = 0$ , turunannya adalah $- 2$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, 1)$ .

Menurun pada $(- \infty, 1)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + {({(2)}^{2} - 2 \cdot 2)}^{2}})$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + {(4 - 2 \cdot 2)}^{2}})$

Langkah 7.2.1.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + {(4 - 4)}^{2}})$

Langkah 7.2.1.2

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + 0^{2}})$

Langkah 7.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + 0})$

Langkah 7.2.1.4

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1})$

Langkah 7.2.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1})$

Langkah 7.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (2) = (2 (2) - 2) \cdot 1$

Langkah 7.2.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1

Kalikan $2 (2) - 2$ dengan $1$ .

$f' (2) = 2 (2) - 2$

Langkah 7.2.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f' (2) = 4 - 2$

Langkah 7.2.2.2.3

Kurangi $2$ dengan $4$ .

$f' (2) = 2$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$2$

Langkah 7.3

Pada $x = 2$ , turunannya adalah $2$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(1, \infty)$ .

Meningkat pada $(1, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(1, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, 1)$

Langkah 9