Kalkulus Contoh

${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$

Langkah 1

Tulis ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$ sebagai fungsi.

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ dan $g (x) = x^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 1$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.2.5

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.2.6

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.2.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.2.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.2.8.2

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.2.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.2.10

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.2.11

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.2.12

Gabungkan $2$ dan $\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{2 (2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}})}{3} x + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.2.13

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} x + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.2.14

Gabungkan $\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ dan $x$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} x}{3} + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.2.15

Pindahkan ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 0$

Langkah 2.1.3.2

Tambahkan $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Langkah 3.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$4 x = 0$

Langkah 3.3

Bagi setiap suku pada $4 x = 0$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagilah setiap suku di $4 x = 0$ dengan $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Langkah 3.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $4$ .

$x = 0$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 5

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{1}}}$

Langkah 5.1.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 1}}$

Langkah 5.2

Atur penyebut dalam $\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 1}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$3 \sqrt[3]{x^{2} - 1} = 0$

Langkah 5.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Untuk menghilangkan akar pada sisi kiri persamaan, pangkatkan tiga kedua sisi persamaan.

${(3 \sqrt[3]{x^{2} - 1})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x^{2} - 1}$ sebagai ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 5.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Sederhanakan ${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 5.3.2.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$27 {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 5.3.2.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 5.3.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 5.3.2.2.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$27 {(x^{2} - 1)}^{1} = 0^{3}$

Langkah 5.3.2.2.1.4

Sederhanakan.

$27 (x^{2} - 1) = 0^{3}$

Langkah 5.3.2.2.1.5

Terapkan sifat distributif.

$27 x^{2} + 27 \cdot - 1 = 0^{3}$

Langkah 5.3.2.2.1.6

Kalikan $27$ dengan $- 1$ .

$27 x^{2} - 27 = 0^{3}$

Langkah 5.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$27 x^{2} - 27 = 0$

Langkah 5.3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Tambahkan $27$ ke kedua sisi persamaan.

$27 x^{2} = 27$

Langkah 5.3.3.2

Bagi setiap suku pada $27 x^{2} = 27$ dengan $27$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Bagilah setiap suku di $27 x^{2} = 27$ dengan $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{27}{27}$

Langkah 5.3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $27$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{27}{27}$

Langkah 5.3.3.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{27}{27}$

Langkah 5.3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.3.1

Bagilah $27$ dengan $27$ .

$x^{2} = 1$

Langkah 5.3.3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{1}$

Langkah 5.3.3.4

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm 1$

Langkah 5.3.3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 1$

Langkah 5.3.3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 1$

Langkah 5.3.3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 1, - 1$

Langkah 5.4

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Langkah 6

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{3 {({(- 2)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 {({(- 2)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 {(4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 7.2.2.2

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 7.2.3

Kalikan $3$ dengan $3^{\frac{1}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Kalikan $3$ dengan $3^{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 7.2.3.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{1 + \frac{1}{3}}}$

Langkah 7.2.3.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

Langkah 7.2.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{\frac{3 + 1}{3}}}$

Langkah 7.2.3.4

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 7.2.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 2) = - \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 7.2.5

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 7.3

Pada $x = - 2$ , turunannya adalah $- \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - 1)$ .

Menurun pada $(- \infty, - 1)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(- 1, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1}{2})}{3 {({(- \frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 4 (\frac{1}{2})}{3 {({(- \frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 8.2.1.2

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {({(- \frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 8.2.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 8.2.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 8.2.2.1.3

Kalikan $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ dengan $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1^{2}}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 8.2.2.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 8.2.2.1.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 8.2.2.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 8.2.2.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 8.2.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1 - 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 8.2.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1 - 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 8.2.2.5.2

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{- 3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 8.2.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(- \frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 8.2.2.7

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.7.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{3}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}})}$

Langkah 8.2.2.7.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Langkah 8.2.2.8

Tulis kembali $- 1$ sebagai ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Langkah 8.2.2.9

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Langkah 8.2.2.10

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.10.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Langkah 8.2.2.10.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ((- 1) (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Langkah 8.2.2.11

Evaluasi eksponennya.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Langkah 8.2.3

Bagilah $- 4$ dengan $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Langkah 8.2.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{- 3 \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Langkah 8.2.4.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Langkah 8.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.5.1

Buang faktor negatif.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Langkah 8.2.5.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Langkah 8.2.5.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{1 + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Langkah 8.2.5.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Langkah 8.2.5.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{\frac{3 + 1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Langkah 8.2.5.6

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Langkah 8.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{- \frac{3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Langkah 8.2.7

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f' (- \frac{1}{2}) = - 2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$

Langkah 8.2.8

Kalikan $- 2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$

Langkah 8.2.8.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 8.2.8.3

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 8.2.8.4

Kalikan eksponen dalam ${(2^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.8.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{3})}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 8.2.8.4.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{3}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 8.2.8.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{1 + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 8.2.8.6

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 8.2.8.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{3 + 2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 8.2.8.8

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 8.2.9

Jawaban akhirnya adalah $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 8.3

Pada $x = - \frac{1}{2}$ , turunannya adalah $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 1, 0)$ .

Meningkat pada $(- 1, 0)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Substitusikan nilai dari interval $(0, 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 (\frac{1}{2})}{3 {({(\frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 9.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {({(\frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 9.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1^{2}}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 9.2.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 9.2.2.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 9.2.2.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 9.2.2.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 9.2.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1 - 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 9.2.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1 - 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 9.2.2.5.2

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{- 3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 9.2.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(- \frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 9.2.2.7

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.7.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{3}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}})}$

Langkah 9.2.2.7.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Langkah 9.2.2.8

Tulis kembali $- 1$ sebagai ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Langkah 9.2.2.9

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Langkah 9.2.2.10

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.10.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Langkah 9.2.2.10.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ((- 1) (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Langkah 9.2.2.11

Evaluasi eksponennya.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Langkah 9.2.3

Bagilah $4$ dengan $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Langkah 9.2.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{- 3 \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Langkah 9.2.4.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Langkah 9.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.5.1

Buang faktor negatif.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Langkah 9.2.5.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Langkah 9.2.5.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{1 + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Langkah 9.2.5.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Langkah 9.2.5.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{\frac{3 + 1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Langkah 9.2.5.6

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Langkah 9.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{- \frac{3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Langkah 9.2.7

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$

Langkah 9.2.8

Kalikan $2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 2 \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 9.2.8.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 9.2.8.3

Buang faktor negatif.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot 4^{\frac{1}{3}})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 9.2.8.4

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{3}})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 9.2.8.5

Kalikan eksponen dalam ${(2^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.8.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{3})})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 9.2.8.5.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot 2^{\frac{2}{3}})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 9.2.8.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{1 + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 9.2.8.7

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 9.2.8.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{\frac{3 + 2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 9.2.8.9

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 9.2.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 9.2.10

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 9.3

Pada $x = \frac{1}{2}$ , turunannya adalah $- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, 1)$ .

Menurun pada $(0, 1)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 10

Substitusikan nilai dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = \frac{4 (2)}{3 {({(2)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 10.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 {(2^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 10.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 {(4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 10.2.2.2

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 10.2.3

Kalikan $3$ dengan $3^{\frac{1}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.1

Kalikan $3$ dengan $3^{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 10.2.3.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (2) = \frac{8}{3^{1 + \frac{1}{3}}}$

Langkah 10.2.3.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f' (2) = \frac{8}{3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

Langkah 10.2.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (2) = \frac{8}{3^{\frac{3 + 1}{3}}}$

Langkah 10.2.3.4

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 10.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 10.3

Pada $x = 2$ , turunannya adalah $\frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(1, \infty)$ .

Meningkat pada $(1, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 11

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- 1, 0), (1, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, - 1), (0, 1)$

Langkah 12