Kalkulus Contoh

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 70 x + 5$

Langkah 1

Tulis $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 70 x + 5$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 70 x + 5$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 70 x + 5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{3} x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.2.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.2.4

Gabungkan $\frac{3}{3}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.2.5.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $\frac{3}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{3}{2} x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} + \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.3.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{3}{2}$ .

$x^{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.3.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$x^{2} + \frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.3.5

Gabungkan $\frac{6}{2}$ dan $x$ .

$x^{2} + \frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.3.6

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.6.1

Faktorkan $2$ dari $6 x$ .

$x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.3.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.3.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} + \frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.3.6.2.4

Bagilah $3 x$ dengan $1$ .

$x^{2} + 3 x + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 70 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Karena $- 70$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 70 x$ terhadap $x$ adalah $- 70 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} + 3 x - 70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{2} + 3 x - 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.4.3

Kalikan $- 70$ dengan $1$ .

$x^{2} + 3 x - 70 + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.1.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x^{2} + 3 x - 70 + 0$

Langkah 2.1.5.2

Tambahkan $x^{2} + 3 x - 70$ dan $0$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 x - 70$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x^{2} + 3 x - 70$ .

$x^{2} + 3 x - 70$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x^{2} + 3 x - 70 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$x^{2} + 3 x - 70 = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $x^{2} + 3 x - 70$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 70$ dan jumlahnya $3$ .

$- 7, 10$

Langkah 3.2.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x - 7) (x + 10) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 10 = 0$

Langkah 3.4

Atur $x - 7$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $x - 7$ sama dengan $0$ .

$x - 7 = 0$

Langkah 3.4.2

Tambahkan $7$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 7$

Langkah 3.5

Atur $x + 10$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $x + 10$ sama dengan $0$ .

$x + 10 = 0$

Langkah 3.5.2

Kurangkan $10$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 10$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 7) (x + 10) = 0$ benar.

$x = 7, - 10$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $7, - 10$ .

$7, - 10$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, 7) \cup (7, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 10)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 11$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 11) = {(- 11)}^{2} + 3 (- 11) - 70$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 11$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 11) = 121 + 3 (- 11) - 70$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $- 11$ .

$f' (- 11) = 121 - 33 - 70$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Kurangi $33$ dengan $121$ .

$f' (- 11) = 88 - 70$

Langkah 6.2.2.2

Kurangi $70$ dengan $88$ .

$f' (- 11) = 18$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $18$ .

$18$

Langkah 6.3

Pada $x = - 11$ , turunannya adalah $18$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, - 10)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 10)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 10, 7)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{3}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- \frac{3}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{2} + 3 (- \frac{3}{2}) - 70$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 (- \frac{3}{2}) - 70$

Langkah 7.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 3 (- \frac{3}{2}) - 70$

Langkah 7.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 3 (- \frac{3}{2}) - 70$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ dengan $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{3^{2}}{2^{2}} + 3 (- \frac{3}{2}) - 70$

Langkah 7.2.1.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2^{2}} + 3 (- \frac{3}{2}) - 70$

Langkah 7.2.1.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + 3 (- \frac{3}{2}) - 70$

Langkah 7.2.1.6

Kalikan $3 (- \frac{3}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2}) - 70$

Langkah 7.2.1.6.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2} - 70$

Langkah 7.2.1.6.3

Kalikan $- 3$ dengan $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2} - 70$

Langkah 7.2.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - 70$

Langkah 7.2.2

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Kalikan $\frac{9}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - (\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 70$

Langkah 7.2.2.2

Kalikan $\frac{9}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 70$

Langkah 7.2.2.3

Tulis $- 70$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 70}{1}$

Langkah 7.2.2.4

Kalikan $\frac{- 70}{1}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 70}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 7.2.2.5

Kalikan $\frac{- 70}{1}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 70 \cdot 4}{4}$

Langkah 7.2.2.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{- 70 \cdot 4}{4}$

Langkah 7.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 70 \cdot 4}{4}$

Langkah 7.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.1

Kalikan $- 9$ dengan $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18 - 70 \cdot 4}{4}$

Langkah 7.2.4.2

Kalikan $- 70$ dengan $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18 - 280}{4}$

Langkah 7.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.5.1

Kurangi $18$ dengan $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 9 - 280}{4}$

Langkah 7.2.5.2

Kurangi $280$ dengan $- 9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 289}{4}$

Langkah 7.2.5.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{289}{4}$

Langkah 7.2.6

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{289}{4}$ .

$- \frac{289}{4}$

Langkah 7.3

Pada $x = - \frac{3}{2}$ , turunannya adalah $- \frac{289}{4}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 10, 7)$ .

Menurun pada $(- 10, 7)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(7, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $8$ pada pernyataan tersebut.

$f' (8) = {(8)}^{2} + 3 (8) - 70$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $8$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (8) = 64 + 3 (8) - 70$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $8$ .

$f' (8) = 64 + 24 - 70$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Tambahkan $64$ dan $24$ .

$f' (8) = 88 - 70$

Langkah 8.2.2.2

Kurangi $70$ dengan $88$ .

$f' (8) = 18$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $18$ .

$18$

Langkah 8.3

Pada $x = 8$ , turunannya adalah $18$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(7, \infty)$ .

Meningkat pada $(7, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, - 10), (7, \infty)$

Menurun pada: $(- 10, 7)$

Langkah 10