Kalkulus Contoh

$\frac{d}{d t} (\frac{t^{2} + 8}{{(3 t - 2)}^{6}})$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ adalah $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ di mana $f (t) = t^{2} + 8$ dan $g (t) = {(3 t - 2)}^{6}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} \frac{d}{d t} [t^{2} + 8] - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{({(3 t - 2)}^{6})}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan eksponen dalam ${({(3 t - 2)}^{6})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} \frac{d}{d t} [t^{2} + 8] - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{6 \cdot 2}}$

Langkah 2.1.2

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} \frac{d}{d t} [t^{2} + 8] - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t^{2} + 8$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [8]) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} (2 t + \frac{d}{d t} [8]) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 2.4

Karena $8$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $8$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} (2 t + 0) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tambahkan $2 t$ dan $0$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} (2 t) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 2.5.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(3 t - 2)}^{6}$ .

$\frac{2 \cdot {(3 t - 2)}^{6} t - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = t^{6}$ dan $g (t) = 3 t - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 t - 2$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - (t^{2} + 8) (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d t} [3 t - 2])}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 6$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - (t^{2} + 8) (6 u^{5} \frac{d}{d t} [3 t - 2])}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 t - 2$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - (t^{2} + 8) (6 {(3 t - 2)}^{5} \frac{d}{d t} [3 t - 2])}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} \frac{d}{d t} [3 t - 2])}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 4.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 t - 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 2]))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 4.3

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3 t$ terhadap $t$ adalah $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2]))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 4.5

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (3 + \frac{d}{d t} [- 2]))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 4.6

Karena $- 2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 2$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (3 + 0))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 4.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} \cdot 3)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 4.7.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri ${(3 t - 2)}^{5}$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) (3 \cdot {(3 t - 2)}^{5})}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 4.7.3

Kalikan $3$ dengan $- 6$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 18 (t^{2} + 8) {(3 t - 2)}^{5}}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t + (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8) {(3 t - 2)}^{5}}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan ${(3 t - 2)}^{5}$ dari $2 {(3 t - 2)}^{6} t + (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8) {(3 t - 2)}^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Faktorkan ${(3 t - 2)}^{5}$ dari $2 {(3 t - 2)}^{6} t$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t - 2) t) + (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8) {(3 t - 2)}^{5}}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 5.2.1.2

Faktorkan ${(3 t - 2)}^{5}$ dari $(- 18 t^{2} - 18 \cdot 8) {(3 t - 2)}^{5}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t - 2) t) + {(3 t - 2)}^{5} (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 5.2.1.3

Faktorkan ${(3 t - 2)}^{5}$ dari ${(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t - 2) t) + {(3 t - 2)}^{5} (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8)$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t - 2) t - 18 t^{2} - 18 \cdot 8)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $2$ dari $2 (3 t - 2) t - 18 t^{2} - 18 \cdot 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 (3 t - 2) t$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t) - 18 t^{2} - 18 \cdot 8)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 5.2.2.2

Faktorkan $2$ dari $- 18 t^{2}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t) + 2 (- 9 t^{2}) - 18 \cdot 8)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 5.2.2.3

Faktorkan $2$ dari $- 18 \cdot 8$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t) + 2 (- 9 t^{2}) + 2 (- 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 5.2.2.4

Faktorkan $2$ dari $2 ((3 t - 2) t) + 2 (- 9 t^{2})$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t - 9 t^{2}) + 2 (- 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 5.2.2.5

Faktorkan $2$ dari $2 ((3 t - 2) t - 9 t^{2}) + 2 (- 9 \cdot 8)$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t - 9 t^{2} - 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 5.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t \cdot t - 2 t - 9 t^{2} - 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 5.2.4

Kalikan $t$ dengan $t$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Pindahkan $t$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 (t \cdot t) - 2 t - 9 t^{2} - 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 5.2.4.2

Kalikan $t$ dengan $t$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t^{2} - 2 t - 9 t^{2} - 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 5.2.5

Kalikan $- 9$ dengan $8$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t^{2} - 2 t - 9 t^{2} - 72))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 5.2.6

Kurangi $9 t^{2}$ dengan $3 t^{2}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (- 6 t^{2} - 2 t - 72))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 5.2.7

Faktorkan $2$ dari $- 6 t^{2} - 2 t - 72$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.7.1

Faktorkan $2$ dari $- 6 t^{2}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2}) - 2 t - 72))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 5.2.7.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 t$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2}) + 2 (- t) - 72))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 5.2.7.3

Faktorkan $2$ dari $- 72$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2}) + 2 (- t) + 2 (- 36)))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 5.2.7.4

Faktorkan $2$ dari $2 (- 3 t^{2}) + 2 (- t)$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2} - t) + 2 (- 36)))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 5.2.7.5

Faktorkan $2$ dari $2 (- 3 t^{2} - t) + 2 (- 36)$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2} - t - 36)))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 \cdot 2 (- 3 t^{2} - t - 36))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 5.2.8

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} \cdot 4 (- 3 t^{2} - t - 36)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 5.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri ${(3 t - 2)}^{5}$ .

$\frac{4 \cdot {(3 t - 2)}^{5} (- 3 t^{2} - t - 36)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 5.3.2

Hapus faktor persekutuan dari ${(3 t - 2)}^{5}$ dan ${(3 t - 2)}^{12}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Faktorkan ${(3 t - 2)}^{5}$ dari $4 {(3 t - 2)}^{5} (- 3 t^{2} - t - 36)$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (4 (- 3 t^{2} - t - 36))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Faktorkan ${(3 t - 2)}^{5}$ dari ${(3 t - 2)}^{12}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (4 (- 3 t^{2} - t - 36))}{{(3 t - 2)}^{5} {(3 t - 2)}^{7}}$

Langkah 5.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (4 (- 3 t^{2} - t - 36))}{{(3 t - 2)}^{5} {(3 t - 2)}^{7}}$

Langkah 5.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 (- 3 t^{2} - t - 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Langkah 5.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 t^{2}$ .

$\frac{4 (- (3 t^{2}) - t - 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Langkah 5.5

Faktorkan $- 1$ dari $- t$ .

$\frac{4 (- (3 t^{2}) - (t) - 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Langkah 5.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 t^{2}) - (t)$ .

$\frac{4 (- (3 t^{2} + t) - 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Langkah 5.7

Tulis kembali $- 36$ sebagai $- 1 (36)$ .

$\frac{4 (- (3 t^{2} + t) - 1 (36))}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Langkah 5.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 t^{2} + t) - 1 (36)$ .

$\frac{4 (- (3 t^{2} + t + 36))}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Langkah 5.9

Tulis kembali $- (3 t^{2} + t + 36)$ sebagai $- 1 (3 t^{2} + t + 36)$ .

$\frac{4 (- 1 (3 t^{2} + t + 36))}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Langkah 5.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{4 (3 t^{2} + t + 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$