Kalkulus Contoh

$y = e^{2 x}$ , $y = e^{5 x}$ , $x = 1$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$e^{2 x} = e^{5 x}$

Langkah 1.2

Selesaikan $e^{2 x} = e^{5 x}$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena bilangan pokoknya sama, maka dua pernyataannya sama hanya jika pangkatnya juga sama.

$2 x = 5 x$

Langkah 1.2.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Kurangkan $5 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x - 5 x = 0$

Langkah 1.2.2.1.2

Kurangi $5 x$ dengan $2 x$ .

$- 3 x = 0$

Langkah 1.2.2.2

Bagi setiap suku pada $- 3 x = 0$ dengan $- 3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- 3 x = 0$ dengan $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Langkah 1.2.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Langkah 1.2.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{- 3}$

Langkah 1.2.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 3$ .

$x = 0$

Langkah 1.3

Evaluasi $y$ ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$y = e^{5 (0)}$

Langkah 1.3.2

Sederhanakan $e^{5 (0)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$y = e^{0}$

Langkah 1.3.2.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$y = 1$

Langkah 1.4

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(0, 1)$

Langkah 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{0}^{1} e^{5 x} d x - \int_{0}^{1} e^{2 x} d x$

Langkah 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $0$ dan $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{0}^{1} e^{5 x} - (e^{2 x}) d x$

Langkah 3.2

Kalikan $- 1$ dengan $e^{2 x}$ .

$\int_{0}^{1} e^{5 x} - e^{2 x} d x$

Langkah 3.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{1} e^{5 x} d x + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Langkah 3.4

Biarkan $u_{1} = 5 x$ . Kemudian $d u_{1} = 5 d x$ sehingga $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Biarkan $u_{1} = 5 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Diferensialkan $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Langkah 3.4.1.2

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Langkah 3.4.1.4

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$5$

Langkah 3.4.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{1} = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

Langkah 3.4.3

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 3.4.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{1} = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 1$

Langkah 3.4.5

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 5$

Langkah 3.4.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

Langkah 3.4.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ , $d u_{1}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{5} e^{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Langkah 3.5

Gabungkan $e^{u_{1}}$ dan $\frac{1}{5}$ .

$\int_{0}^{5} \frac{e^{u_{1}}}{5} d u_{1} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Langkah 3.6

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{5}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Langkah 3.7

Integral dari $e^{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Langkah 3.8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \int_{0}^{1} e^{2 x} d x$

Langkah 3.9

Biarkan $u_{2} = 2 x$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Biarkan $u_{2} = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 3.9.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.9.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 3.9.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 3.9.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{2} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Langkah 3.9.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 3.9.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{2} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Langkah 3.9.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 2$

Langkah 3.9.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Langkah 3.9.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \int_{0}^{2} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 3.10

Gabungkan $e^{u_{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \int_{0}^{2} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Langkah 3.11

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 3.12

Integral dari $e^{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{2}$

Langkah 3.13

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.13.1

Evaluasi $e^{u_{1}}$ pada $5$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{5} ((e^{5}) - e^{0}) - \frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{2}$

Langkah 3.13.2

Evaluasi $e^{u_{2}}$ pada $2$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{5} ((e^{5}) - e^{0}) - \frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0})$

Langkah 3.13.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.13.3.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1 \cdot 1) - \frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0})$

Langkah 3.13.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1) - \frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0})$

Langkah 3.13.3.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1) - \frac{1}{2} (e^{2} - 1 \cdot 1)$

Langkah 3.13.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1) - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Langkah 3.14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.14.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.14.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{5} e^{5} + \frac{1}{5} \cdot - 1 - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Langkah 3.14.1.2

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $e^{5}$ .

$\frac{e^{5}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 1 - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Langkah 3.14.1.3

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $- 1$ .

$\frac{e^{5}}{5} + \frac{- 1}{5} - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Langkah 3.14.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Langkah 3.14.1.5

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} e^{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Langkah 3.14.1.6

Gabungkan $e^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Langkah 3.14.1.7

Kalikan $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.14.1.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{e^{2}}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Langkah 3.14.1.7.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{e^{2}}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 3.14.2

Untuk menuliskan $- \frac{1}{5}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 3.14.3

Untuk menuliskan $\frac{1}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Langkah 3.14.4

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $10$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.14.4.1

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{5 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Langkah 3.14.4.2

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Langkah 3.14.4.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{10} + \frac{5}{2 \cdot 5}$

Langkah 3.14.4.4

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{10} + \frac{5}{10}$

Langkah 3.14.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} + \frac{- 2 + 5}{10}$

Langkah 3.14.6

Tambahkan $- 2$ dan $5$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} + \frac{3}{10}$

Langkah 4