Kalkulus Contoh

$y = \frac{4}{9} x^{2}$ , $y = \frac{13}{9} - x^{2}$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$\frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$

Langkah 1.2

Selesaikan $\frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Sederhanakan $\frac{4}{9} x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Tulis kembali.

$0 + 0 + \frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$

Langkah 1.2.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$\frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$

Langkah 1.2.1.3

Gabungkan $\frac{4}{9}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2}}{9} = \frac{13}{9} - x^{2}$

Langkah 1.2.2

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Tambahkan $x^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{4 x^{2}}{9} + x^{2} = \frac{13}{9}$

Langkah 1.2.2.2

Untuk menuliskan $x^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 x^{2}}{9} + x^{2} \cdot \frac{9}{9} = \frac{13}{9}$

Langkah 1.2.2.3

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 x^{2}}{9} + \frac{x^{2} \cdot 9}{9} = \frac{13}{9}$

Langkah 1.2.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} \cdot 9}{9} = \frac{13}{9}$

Langkah 1.2.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.5.1

Pindahkan $9$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 9 \cdot x^{2}}{9} = \frac{13}{9}$

Langkah 1.2.2.5.2

Tambahkan $4 x^{2}$ dan $9 x^{2}$ .

$\frac{13 x^{2}}{9} = \frac{13}{9}$

Langkah 1.2.3

Karena pernyataan pada setiap sisi persamaan mempunyai penyebut yang sama, maka pembilangnya harus sama.

$13 x^{2} = 13$

Langkah 1.2.4

Bagi setiap suku pada $13 x^{2} = 13$ dengan $13$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Bagilah setiap suku di $13 x^{2} = 13$ dengan $13$ .

$\frac{13 x^{2}}{13} = \frac{13}{13}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $13$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{13 x^{2}}{13} = \frac{13}{13}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{13}{13}$

Langkah 1.2.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.3.1

Bagilah $13$ dengan $13$ .

$x^{2} = 1$

Langkah 1.2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Langkah 1.2.6

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm 1$

Langkah 1.2.7

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 1$

Langkah 1.2.7.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 1$

Langkah 1.2.7.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 1, - 1$

Langkah 1.3

Evaluasi $y$ ketika $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$y = \frac{13}{9} - {(1)}^{2}$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $1$ ke $x$ dalam $y = \frac{13}{9} - {(1)}^{2}$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = \frac{13}{9} - 1^{2}$

Langkah 1.3.2.2

Sederhanakan $\frac{13}{9} - 1^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$y = \frac{13}{9} - 1 \cdot 1$

Langkah 1.3.2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y = \frac{13}{9} - 1$

Langkah 1.3.2.2.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{13}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}$

Langkah 1.3.2.2.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{13}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

Langkah 1.3.2.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{13 - 1 \cdot 9}{9}$

Langkah 1.3.2.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$y = \frac{13 - 9}{9}$

Langkah 1.3.2.2.5.2

Kurangi $9$ dengan $13$ .

$y = \frac{4}{9}$

Langkah 1.4

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(1, \frac{4}{9})$

$(- 1, \frac{4}{9})$

$(1, \frac{4}{9})$

$(- 1, \frac{4}{9})$

Langkah 2

Gabungkan $\frac{4}{9}$ dan $x^{2}$ .

$y = \frac{4 x^{2}}{9}$

Langkah 3

Susun kembali $\frac{13}{9}$ dan $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + \frac{13}{9}$

Langkah 4

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} - x^{2} + \frac{13}{9} d x - \int_{- 1}^{1} \frac{4 x^{2}}{9} d x$

Langkah 5

Integralkan untuk menghitung luas antara $- 1$ dan $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{- 1}^{1} - x^{2} + \frac{13}{9} - (\frac{4 x^{2}}{9}) d x$

Langkah 5.2

Untuk menuliskan $- x^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{9}{9}$ .

$\int_{- 1}^{1} - x^{2} \cdot \frac{9}{9} - \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{13}{9} d x$

Langkah 5.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Gabungkan $- x^{2}$ dan $\frac{9}{9}$ .

$\frac{- x^{2} \cdot 9}{9} - \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{13}{9}$

Langkah 5.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- x^{2} \cdot 9 - 4 x^{2}}{9} + \frac{13}{9}$

Langkah 5.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- x^{2} \cdot 9 - 4 x^{2} + 13}{9}$

Langkah 5.3.4

Kalikan $9$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 4 x^{2} + 13}{9}$

Langkah 5.3.5

Kurangi $4 x^{2}$ dengan $- 9 x^{2}$ .

$\frac{- 13 x^{2} + 13}{9}$

$\int_{- 1}^{1} \frac{- 13 x^{2} + 13}{9} d x$

Langkah 5.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $13$ dari $- 13 x^{2} + 13$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1

Faktorkan $13$ dari $- 13 x^{2}$ .

$\frac{13 (- x^{2}) + 13}{9}$

Langkah 5.4.1.2

Faktorkan $13$ dari $13$ .

$\frac{13 (- x^{2}) + 13 (1)}{9}$

Langkah 5.4.1.3

Faktorkan $13$ dari $13 (- x^{2}) + 13 (1)$ .

$\frac{13 (- x^{2} + 1)}{9}$

Langkah 5.4.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{13 (- x^{2} + 1^{2})}{9}$

Langkah 5.4.3

Susun kembali $- x^{2}$ dan $1^{2}$ .

$\frac{13 (1^{2} - x^{2})}{9}$

Langkah 5.4.4

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = x$ .

$\frac{13 (1 + x) (1 - x)}{9}$

$\int_{- 1}^{1} \frac{13 (1 + x) (1 - x)}{9} d x$

Langkah 5.5

Karena $\frac{13}{9}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{13}{9}$ keluar dari integral.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} (1 + x) (1 - x) d x$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 (1 - x) + x (1 - x) d x$

Langkah 5.6.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) d x$

Langkah 5.6.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) d x$

Langkah 5.6.4

Susun kembali $x$ dan $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x + x (- x) d x$

Langkah 5.6.5

Susun kembali $x$ dan $- 1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x d x$

Langkah 5.6.6

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 x - 1 x \cdot x d x$

Langkah 5.6.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + 1 x - 1 x \cdot x d x$

Langkah 5.6.8

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - 1 x \cdot x d x$

Langkah 5.6.9

Buang faktor negatif.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - (x \cdot x) d x$

Langkah 5.6.10

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - (x^{1} x) d x$

Langkah 5.6.11

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - (x^{1} x^{1}) d x$

Langkah 5.6.12

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - x^{1 + 1} d x$

Langkah 5.6.13

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - x^{2} d x$

Langkah 5.6.14

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 + 0 - x^{2} d x$

Langkah 5.6.15

Kurangi $x^{2}$ dengan $0$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x^{2} d x$

Langkah 5.6.16

Susun kembali $1$ dan $- x^{2}$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} - x^{2} + 1 d x$

Langkah 5.7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{13}{9} (\int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Langkah 5.8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{13}{9} (- \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Langkah 5.9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Langkah 5.10

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Langkah 5.11

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{13}{9} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

Langkah 5.12

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.12.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $1$ dan pada $- 1$ .

$\frac{13}{9} (- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + x]_{- 1}^{1})$

Langkah 5.12.2

Evaluasi $x$ pada $1$ dan pada $- 1$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Langkah 5.12.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.12.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Langkah 5.12.3.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 1 + 1)$

Langkah 5.12.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

Langkah 5.12.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 1 + 1)$

Langkah 5.12.3.5

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

Langkah 5.12.3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{13}{9} (- \frac{1 + 1}{3} + 1 + 1)$

Langkah 5.12.3.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + 1 + 1)$

Langkah 5.12.3.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + 2)$

Langkah 5.12.3.9

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3})$

Langkah 5.12.3.10

Gabungkan $2$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3})$

Langkah 5.12.3.11

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{13}{9} \cdot \frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}$

Langkah 5.12.3.12

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.12.3.12.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{13}{9} \cdot \frac{- 2 + 6}{3}$

Langkah 5.12.3.12.2

Tambahkan $- 2$ dan $6$ .

$\frac{13}{9} \cdot \frac{4}{3}$

Langkah 5.12.3.13

Kalikan $\frac{13}{9}$ dengan $\frac{4}{3}$ .

$\frac{13 \cdot 4}{9 \cdot 3}$

Langkah 5.12.3.14

Kalikan $13$ dengan $4$ .

$\frac{52}{9 \cdot 3}$

Langkah 5.12.3.15

Kalikan $9$ dengan $3$ .

$\frac{52}{27}$

Langkah 6