Kalkulus Contoh

$y = \frac{1}{x}$ , $y = \frac{1}{x^{2}}$ , $x = 2$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1.2

Selesaikan $\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$x, x^{2} + y = \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1.2.1.2

Since $x, x^{2}$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{1}, x^{2}$ .

Langkah 1.2.1.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

$1$ Daftar faktor prima dari masing-masing bilangan.

Langkah 1.2.1.4

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 1.2.1.5

KPK dari $1, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$1 + y = \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1.2.1.6

Faktor untuk $x^{1}$ adalah $x$ itu sendiri.

$x = x$

Langkah 1.2.1.7

Faktor-faktor untuk $x^{2}$ adalah $x \cdot x$ , yaitu $x$ dikalikan satu sama lain $2$ kali.

$x^{2} = x \cdot x$

Langkah 1.2.1.8

KPK dari $x^{1}, x^{2}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$x \cdot x + y = \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1.2.1.9

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{2} + y = \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1.2.2

Kalikan setiap suku pada $\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ dengan $x^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{1}{x} x^{2} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Langkah 1.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{1}{x} (x \cdot x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Langkah 1.2.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x} (x \cdot x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Langkah 1.2.2.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Langkah 1.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Langkah 1.2.2.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 1$

Langkah 1.3

Evaluasi $y$ ketika $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$y = \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $1$ ke $x$ dalam $y = \frac{1}{{(1)}^{2}}$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = \frac{1}{1^{2}}$

Langkah 1.3.2.2

Sederhanakan $\frac{1}{1^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$y = \frac{1}{1}$

Langkah 1.3.2.2.2

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$y = 1$

Langkah 1.4

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(1, 1)$

Langkah 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $1$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} - (\frac{1}{x^{2}}) d x$

Langkah 3.2

Kalikan $- 1$ dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 3.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 3.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 3.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 3.6

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 3.6.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 3.6.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Langkah 3.7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Langkah 3.8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1.1

Evaluasi $\ln (| x |)$ pada $2$ dan pada $1$ .

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Langkah 3.8.1.2

Evaluasi $- x^{- 1}$ pada $2$ dan pada $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Langkah 3.8.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1.3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Langkah 3.8.1.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + 1)$

Langkah 3.8.1.3.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Langkah 3.8.1.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{- 1 + 2}{2}$

Langkah 3.8.1.3.5

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{2}$

Langkah 3.8.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Langkah 3.8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Langkah 3.8.3.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\ln (\frac{2}{1}) - \frac{1}{2}$

Langkah 3.8.3.3

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\ln (2) - \frac{1}{2}$

Langkah 4