Kalkulus Contoh

$r = 13 \cos (θ)$ , $r = 6 + \cos (θ)$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$13 \cos (θ) = 6 + \cos (θ)$

Langkah 1.2

Selesaikan $13 \cos (θ) = 6 + \cos (θ)$ untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pindahkan semua suku yang mengandung $\cos (θ)$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Kurangkan $\cos (θ)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$13 \cos (θ) - \cos (θ) = 6$

Langkah 1.2.1.2

Kurangi $\cos (θ)$ dengan $13 \cos (θ)$ .

$12 \cos (θ) = 6$

Langkah 1.2.2

Bagi setiap suku pada $12 \cos (θ) = 6$ dengan $12$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Bagilah setiap suku di $12 \cos (θ) = 6$ dengan $12$ .

$\frac{12 \cos (θ)}{12} = \frac{6}{12}$

Langkah 1.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{12 \cos (θ)}{12} = \frac{6}{12}$

Langkah 1.2.2.2.1.2

Bagilah $\cos (θ)$ dengan $1$ .

$\cos (θ) = \frac{6}{12}$

Langkah 1.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1.1

Faktorkan $6$ dari $6$ .

$\cos (θ) = \frac{6 (1)}{12}$

Langkah 1.2.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1.2.1

Faktorkan $6$ dari $12$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Langkah 1.2.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\cos (θ) = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Langkah 1.2.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

Langkah 1.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam kosinus.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Nilai eksak dari $\arccos (\frac{1}{2})$ adalah $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Langkah 1.2.5

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Langkah 1.2.6

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 1.2.6.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 1.2.6.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Langkah 1.2.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.3.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Langkah 1.2.6.3.2

Kurangi $π$ dengan $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Langkah 1.2.7

Tentukan periode dari $\cos (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 1.2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 1.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 1.2.7.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 1.2.8

Periode dari fungsi $\cos (θ)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.3

Evaluasi $r$ ketika $θ = \frac{π}{3} + 2 π n$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $\frac{π}{3} + 2 π n$ untuk $θ$ .

$r = 6 + \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $\frac{π}{3} + 2 π n$ ke $θ$ dalam $r = 6 + \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$ dan selesaikan $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$r = 6 + \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Langkah 1.3.2.2

Susun kembali $\frac{π}{3}$ dan $2 π n$ .

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3})$

Langkah 1.4

Evaluasi $r$ ketika $θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Substitusikan $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ untuk $θ$ .

$r = 6 + \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Langkah 1.4.2

Substitusikan $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ ke $θ$ dalam $r = 6 + \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$ dan selesaikan $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$r = 6 + \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Langkah 1.4.2.2

Susun kembali $\frac{5 π}{3}$ dan $2 π n$ .

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3})$

Langkah 1.5

Penyelesaian dari sistem persamaan adalah semua nilai yang membuat sistemnya benar.

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3}), θ = \frac{π}{3} + 2 π n r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3}), θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

Langkah 1.6

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3}), θ = \frac{π}{3} + 2 π n$

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3}), θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3}), θ = \frac{π}{3} + 2 π n$

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3}), θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

Langkah 2

Daerah di antara kurva yang diberikan tidak terbatas.

Daerah tak terbatas

Langkah 3