Kalkulus Contoh

$y = 8$ , $y = \sqrt{x}$ , $x = 0$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$8 = \sqrt{x}$

Langkah 1.2

Selesaikan $8 = \sqrt{x}$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\sqrt{x} = 8$ .

$\sqrt{x} = 8$

Langkah 1.2.2

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{x}}^{2} = 8^{2}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 8^{2}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Sederhanakan ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8^{2}$

Langkah 1.2.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8^{2}$

Langkah 1.2.3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{1} = 8^{2}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Sederhanakan.

$x = 8^{2}$

Langkah 1.2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1

Naikkan $8$ menjadi pangkat $2$ .

$x = 64$

Langkah 1.3

Evaluasi $y$ ketika $x = 64$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $64$ untuk $x$ .

$y = \sqrt{64}$

Langkah 1.3.2

Sederhanakan $\sqrt{64}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = \sqrt{64}$

Langkah 1.3.2.2

Tulis kembali $64$ sebagai $8^{2}$ .

$y = \sqrt{8^{2}}$

Langkah 1.3.2.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$y = 8$

Langkah 1.4

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(64, 8)$

Langkah 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{0}^{64} 8 d x - \int_{0}^{64} \sqrt{x} d x$

Langkah 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $0$ dan $64$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Integralkan untuk menghitung luas antara $0$ dan $64$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} - (8) d x$

Langkah 3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} - 8 d x$

Langkah 3.1.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{64} - 8 d x$

Langkah 3.1.4

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{64} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{64} - 8 d x$

Langkah 3.1.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64} + \int_{0}^{64} - 8 d x$

Langkah 3.1.6

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64} + - 8 x]_{0}^{64}$

Langkah 3.1.7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.7.1

Gabungkan $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}$ dan $- 8 x]_{0}^{64}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 8 x]_{0}^{64}$

Langkah 3.1.7.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.7.2.1

Evaluasi $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 8 x$ pada $64$ dan pada $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 64) - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Langkah 3.1.7.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.7.2.2.1

Tulis kembali $64$ sebagai $8^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Langkah 3.1.7.2.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Langkah 3.1.7.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.7.2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Langkah 3.1.7.2.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Langkah 3.1.7.2.2.4

Naikkan $8$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 512 - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Langkah 3.1.7.2.2.5

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $512$ .

$\frac{2 \cdot 512}{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Langkah 3.1.7.2.2.6

Kalikan $2$ dengan $512$ .

$\frac{1024}{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Langkah 3.1.7.2.2.7

Kalikan $- 8$ dengan $64$ .

$\frac{1024}{3} - 512 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Langkah 3.1.7.2.2.8

Untuk menuliskan $- 512$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1024}{3} - 512 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Langkah 3.1.7.2.2.9

Gabungkan $- 512$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1024}{3} + \frac{- 512 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Langkah 3.1.7.2.2.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1024 - 512 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Langkah 3.1.7.2.2.11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.7.2.2.11.1

Kalikan $- 512$ dengan $3$ .

$\frac{1024 - 1536}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Langkah 3.1.7.2.2.11.2

Kurangi $1536$ dengan $1024$ .

$\frac{- 512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Langkah 3.1.7.2.2.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Langkah 3.1.7.2.2.13

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Langkah 3.1.7.2.2.14

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 0)$

Langkah 3.1.7.2.2.15

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.7.2.2.15.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 0)$

Langkah 3.1.7.2.2.15.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - 8 \cdot 0)$

Langkah 3.1.7.2.2.16

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0 - 8 \cdot 0)$

Langkah 3.1.7.2.2.17

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $0$ .

$- \frac{512}{3} - (0 - 8 \cdot 0)$

Langkah 3.1.7.2.2.18

Kalikan $- 8$ dengan $0$ .

$- \frac{512}{3} - (0 + 0)$

Langkah 3.1.7.2.2.19

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$- \frac{512}{3} - 0$

Langkah 3.1.7.2.2.20

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$- \frac{512}{3} + 0$

Langkah 3.1.7.2.2.21

Tambahkan $- \frac{512}{3}$ dan $0$ .

$- \frac{512}{3}$

Langkah 3.2

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{0}^{64} 8 - (\sqrt{x}) d x$

Langkah 3.3

Kalikan $- 1$ dengan $\sqrt{x}$ .

$\int_{0}^{64} 8 - \sqrt{x} d x$

Langkah 3.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{64} 8 d x + \int_{0}^{64} - \sqrt{x} d x$

Langkah 3.5

Terapkan aturan konstanta.

$8 x]_{0}^{64} + \int_{0}^{64} - \sqrt{x} d x$

Langkah 3.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$8 x]_{0}^{64} - \int_{0}^{64} \sqrt{x} d x$

Langkah 3.7

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x]_{0}^{64} - \int_{0}^{64} x^{\frac{1}{2}} d x$

Langkah 3.8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x]_{0}^{64} - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64})$

Langkah 3.9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x]_{0}^{64} - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{64})$

Langkah 3.9.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.1

Evaluasi $8 x$ pada $64$ dan pada $0$ .

$(8 \cdot 64) - 8 \cdot 0 - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{64})$

Langkah 3.9.2.2

Evaluasi $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ pada $64$ dan pada $0$ .

$8 \cdot 64 - 8 \cdot 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 3.9.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.3.1

Kalikan $8$ dengan $64$ .

$512 - 8 \cdot 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 3.9.2.3.2

Kalikan $- 8$ dengan $0$ .

$512 + 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 3.9.2.3.3

Tambahkan $512$ dan $0$ .

$512 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 3.9.2.3.4

Tulis kembali $64$ sebagai $8^{2}$ .

$512 - (\frac{2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 3.9.2.3.5

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 3.9.2.3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.3.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 3.9.2.3.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 3.9.2.3.7

Naikkan $8$ menjadi pangkat $3$ .

$512 - (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 3.9.2.3.8

Kalikan $2$ dengan $512$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 3.9.2.3.9

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 3.9.2.3.10

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Langkah 3.9.2.3.11

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.3.11.1

Batalkan faktor persekutuan.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Langkah 3.9.2.3.11.2

Tulis kembali pernyataannya.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Langkah 3.9.2.3.12

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Langkah 3.9.2.3.13

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{0}{3})$

Langkah 3.9.2.3.14

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.3.14.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Langkah 3.9.2.3.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.3.14.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Langkah 3.9.2.3.14.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Langkah 3.9.2.3.14.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{0}{1})$

Langkah 3.9.2.3.14.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - 0)$

Langkah 3.9.2.3.15

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} + 0)$

Langkah 3.9.2.3.16

Tambahkan $\frac{1024}{3}$ dan $0$ .

$512 - \frac{1024}{3}$

Langkah 3.9.2.3.17

Untuk menuliskan $512$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$512 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1024}{3}$

Langkah 3.9.2.3.18

Gabungkan $512$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{512 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3}$

Langkah 3.9.2.3.19

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{512 \cdot 3 - 1024}{3}$

Langkah 3.9.2.3.20

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.3.20.1

Kalikan $512$ dengan $3$ .

$\frac{1536 - 1024}{3}$

Langkah 3.9.2.3.20.2

Kurangi $1024$ dengan $1536$ .

$\frac{512}{3}$

Langkah 4