Kalkulus Contoh

$\sqrt{x - 9}$

Langkah 1

Tulis $\sqrt{x - 9}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \sqrt{x - 9}$

Langkah 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x - 9}$ sebagai ${(x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 9]$

Langkah 2.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Langkah 2.1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 9$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Langkah 2.1.1.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Langkah 2.1.1.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Langkah 2.1.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Langkah 2.1.1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Langkah 2.1.1.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Langkah 2.1.1.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Langkah 2.1.1.7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Langkah 2.1.1.7.3

Pindahkan ${(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Langkah 2.1.1.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Langkah 2.1.1.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Langkah 2.1.1.10

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Langkah 2.1.1.11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.11.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Langkah 2.1.1.11.2

Kalikan $\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2.1.2.1.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ sebagai ${({(x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{({(x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Langkah 2.1.2.1.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({(x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Langkah 2.1.2.1.2.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Langkah 2.1.2.1.2.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 9$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 9])$

Langkah 2.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Langkah 2.1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 9$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Langkah 2.1.2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Langkah 2.1.2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Langkah 2.1.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Langkah 2.1.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Langkah 2.1.2.6.2

Kurangi $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Langkah 2.1.2.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Langkah 2.1.2.7.2

Gabungkan ${(x - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{{(x - 9)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Langkah 2.1.2.7.3

Pindahkan ${(x - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Langkah 2.1.2.7.4

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 (2 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Langkah 2.1.2.7.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Langkah 2.1.2.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Langkah 2.1.2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Langkah 2.1.2.10

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (1 + 0)$

Langkah 2.1.2.11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.11.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Langkah 2.1.2.11.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Langkah 2.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$1 = 0$

Langkah 2.2.3

Karena $1 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3

Tentukan domain dari $f (x) = \sqrt{x - 9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x - 9}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x - 9 \geq 0$

Langkah 3.2

Tambahkan $9$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x \geq 9$

Langkah 3.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$[9, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \geq 9}$

Notasi Interval:

$[9, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \geq 9}$

Langkah 4

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$[9, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $[9, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $12$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (12) = - \frac{1}{4 {((12) - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangi $9$ dengan $12$ .

$f'' (12) = - \frac{1}{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 5.2.2

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{1}{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $[9, \infty)$ karena $f'' (12)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $[9, \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 6