Kalkulus Contoh

$\frac{(x^{2} + 5 x)}{25 - x^{2}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{(x^{2} + 5 x)}{25 - x^{2}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{(x^{2} + 5 x)}{25 - x^{2}}$

Langkah 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2} + 5 x$ dan $g (x) = 25 - x^{2}$ .

$\frac{(25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x] - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 5 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [5 x]) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.2.3

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \cdot 1) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.2.5

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.2.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $25 - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.2.7

Karena $25$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $25$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.2.8

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.2.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.2.10

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 1 (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.2.10.2

Kalikan $x^{2} + 5 x$ dengan $1$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.2.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) (2 x)}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.2.12

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2} + 5 x$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 \cdot (x^{2} + 5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (2 x^{2} + 2 (5 x)) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.3.1.1

Perluas $(25 - x^{2}) (2 x + 5)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.3.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{25 (2 x + 5) - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.3.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.3.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.3.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.3.1.2.1

Kalikan $2$ dengan $25$ .

$\frac{50 x + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.3.1.2.2

Kalikan $25$ dengan $5$ .

$\frac{50 x + 125 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.3.1.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.3.1.2.4

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.3.1.2.4.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.3.1.2.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.3.1.2.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.3.1.2.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.3.1.2.4.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.3.1.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.3.1.2.6

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.3.1.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.3.1.3.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.3.1.3.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.3.1.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.3.1.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{1 + 2} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.3.1.3.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.3.1.4

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.3.1.4.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 (x \cdot x))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.3.1.4.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.3.1.5

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.3.2.1

Tambahkan $- 2 x^{3}$ dan $2 x^{3}$ .

$\frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 0 + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.3.2.2

Tambahkan $50 x + 125 - 5 x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.3.3

Tambahkan $- 5 x^{2}$ dan $10 x^{2}$ .

$\frac{50 x + 125 + 5 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{5 x^{2} + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.5.1

Faktorkan $5$ dari $5 x^{2} + 50 x + 125$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.5.1.1

Faktorkan $5$ dari $5 x^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.5.1.2

Faktorkan $5$ dari $50 x$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 5 (10 x) + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.5.1.3

Faktorkan $5$ dari $125$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 (10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.5.1.4

Faktorkan $5$ dari $5 x^{2} + 5 (10 x)$ .

$\frac{5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.5.1.5

Faktorkan $5$ dari $5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25$ .

$\frac{5 (x^{2} + 10 x + 25)}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.5.2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.5.2.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2} + 10 x + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.5.2.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Langkah 2.1.1.3.5.2.3

Tulis kembali polinomialnya.

$\frac{5 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.5.2.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 5$ .

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.6

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.6.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 5^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.6.2

Susun kembali $- x^{2}$ dan $5^{2}$ .

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5^{2} - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.6.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 5$ dan $b = x$ .

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{((5 + x) (5 - x))}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.6.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $(5 + x) (5 - x)$ .

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.7

Hapus faktor persekutuan dari ${(x + 5)}^{2}$ dan ${(5 + x)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.7.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Langkah 2.1.1.3.7.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = \frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$

Langkah 2.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x)}^{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x)}^{2}}]$

Langkah 2.1.2.1.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(5 - x)}^{2}}$ sebagai ${({(5 - x)}^{2})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{({(5 - x)}^{2})}^{- 1}]$

Langkah 2.1.2.1.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({(5 - x)}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{2 \cdot - 1}]$

Langkah 2.1.2.1.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{- 2}]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 2}$ dan $g (x) = 5 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $5 - x$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [5 - x])$

Langkah 2.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 2$ .

$5 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Langkah 2.1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 - x$ .

$5 (- 2 {(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Langkah 2.1.2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Kalikan $- 2$ dengan $5$ .

$- 10 ({(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Langkah 2.1.2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 10 {(5 - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.1.2.3.3

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 10 {(5 - x)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.1.2.3.4

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 10 {(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.1.2.3.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 {(5 - x)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.2.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 10$ .

$10 {(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.2.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$10 {(5 - x)}^{- 3} \cdot 1$

Langkah 2.1.2.3.8

Kalikan $10$ dengan $1$ .

$10 {(5 - x)}^{- 3}$

Langkah 2.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 \frac{1}{{(5 - x)}^{3}}$

Langkah 2.1.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.5.1

Gabungkan $10$ dan $\frac{1}{{(5 - x)}^{3}}$ .

$\frac{10}{{(5 - x)}^{3}}$

Langkah 2.1.2.5.2

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = \frac{10}{{(- x + 5)}^{3}}$

Langkah 2.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{10}{{(- x + 5)}^{3}}$ .

$\frac{10}{{(- x + 5)}^{3}}$

Langkah 2.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{10}{{(- x + 5)}^{3}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$\frac{10}{{(- x + 5)}^{3}} = 0$

Langkah 2.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$10 = 0$

Langkah 2.2.3

Karena $10 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3

Tentukan domain dari $f (x) = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur penyebut dalam $\frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$25 - x^{2} = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kurangkan $25$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x^{2} = - 25$

Langkah 3.2.2

Bagi setiap suku pada $- x^{2} = - 25$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x^{2} = - 25$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

Langkah 3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

Langkah 3.2.2.2.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 25}{- 1}$

Langkah 3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.3.1

Bagilah $- 25$ dengan $- 1$ .

$x^{2} = 25$

Langkah 3.2.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{25}$

Langkah 3.2.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{25}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Langkah 3.2.4.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 5$

Langkah 3.2.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 5$

Langkah 3.2.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 5$

Langkah 3.2.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 5, - 5$

Langkah 3.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 5, - 5}$

Notasi Interval:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 5, - 5}$

Langkah 4

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, - 5)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 8$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 8) = \frac{10}{{(- (- 8) + 5)}^{3}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 8$ .

$f'' (- 8) = \frac{10}{{(8 + 5)}^{3}}$

Langkah 5.2.1.2

Tambahkan $8$ dan $5$ .

$f'' (- 8) = \frac{10}{13^{3}}$

Langkah 5.2.1.3

Naikkan $13$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- 8) = \frac{10}{2197}$

Langkah 5.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{10}{2197}$ .

$\frac{10}{2197}$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(- \infty, - 5)$ karena $f'' (- 8)$ positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, - 5)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 6

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- 5, 5)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = \frac{10}{{(- (0) + 5)}^{3}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f'' (0) = \frac{10}{{(0 + 5)}^{3}}$

Langkah 6.2.1.2

Tambahkan $0$ dan $5$ .

$f'' (0) = \frac{10}{5^{3}}$

Langkah 6.2.1.3

Naikkan $5$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (0) = \frac{10}{125}$

Langkah 6.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $10$ dan $125$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Faktorkan $5$ dari $10$ .

$f'' (0) = \frac{5 (2)}{125}$

Langkah 6.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Faktorkan $5$ dari $125$ .

$f'' (0) = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 25}$

Langkah 6.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (0) = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 25}$

Langkah 6.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (0) = \frac{2}{25}$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{2}{25}$ .

$\frac{2}{25}$

Langkah 6.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(- 5, 5)$ karena $f'' (0)$ positif.

Cekung ke atas pada $(- 5, 5)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 7

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(5, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $8$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (8) = \frac{10}{{(- (8) + 5)}^{3}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$f'' (8) = \frac{10}{{(- 8 + 5)}^{3}}$

Langkah 7.2.1.2

Tambahkan $- 8$ dan $5$ .

$f'' (8) = \frac{10}{{(- 3)}^{3}}$

Langkah 7.2.1.3

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (8) = \frac{10}{- 27}$

Langkah 7.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (8) = - \frac{10}{27}$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{10}{27}$ .

$- \frac{10}{27}$

Langkah 7.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(5, \infty)$ karena $f'' (8)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(5, \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 8

Grafiknya cekung ke bawah ketika turunan keduanya negatif dan cekung ke atas ketika turunan keduanya positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, - 5)$ karena $f'' (x)$ positif

Cekung ke atas pada $(- 5, 5)$ karena $f'' (x)$ positif

Cekung ke bawah pada $(5, \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 9