Kalkulus Contoh

$\frac{x^{2} + 64}{x}$

Langkah 1

Tulis $\frac{x^{2} + 64}{x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x^{2} + 64}{x}$

Langkah 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2} + 64$ dan $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 64] - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 2.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 64$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 2.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 2.1.1.2.3

Karena $64$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $64$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 2.1.1.2.4

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 2.1.1.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 2.1.1.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 2.1.1.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 2.1.1.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 2.1.1.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \cdot 1}{x^{2}}$

Langkah 2.1.1.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64)}{x^{2}}$

Langkah 2.1.1.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.9.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 64}{x^{2}}$

Langkah 2.1.1.9.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.9.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $64$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 64}{x^{2}}$

Langkah 2.1.1.9.2.2

Kurangi $x^{2}$ dengan $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 64}{x^{2}}$

Langkah 2.1.1.9.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.9.3.1

Tulis kembali $64$ sebagai $8^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 8^{2}}{x^{2}}$

Langkah 2.1.1.9.3.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 8$ .

$f' (x) = \frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$

Langkah 2.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 8) (x - 8)] - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 8) (x - 8)] - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Langkah 2.1.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 8) (x - 8)] - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x + 8$ dan $g (x) = x - 8$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) \frac{d}{d x} [x - 8] + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 8$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.4.3

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.4.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.4.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) \cdot 1 + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.4.4.2

Kalikan $x + 8$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.4.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 8$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.4.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [8])) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.4.7

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (1 + 0)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.4.8

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.4.8.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) \cdot 1) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.4.8.2

Kalikan $x - 8$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + x - 8) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.4.8.3

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 8 - 8) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.4.8.4

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.4.8.4.1

Kurangi $8$ dengan $8$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.4.8.4.2

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.5

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.5.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.5.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.5.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.5.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{3}$ .

$\frac{2 \cdot x^{3} - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{2 x^{3} - (x + 8) (x - 8) (2 x)}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.8

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x + 8) (x - 8) x}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.9.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 8) (x - 8) x}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.9.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.9.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.9.2.1.1

Kalikan $- 2$ dengan $8$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x - 16) (x - 8) x}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.9.2.1.2

Perluas $(- 2 x - 16) (x - 8)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.9.2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 8) - 16 (x - 8)) x}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.9.2.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 8 - 16 (x - 8)) x}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.9.2.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.9.2.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.9.2.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.9.2.1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.9.2.1.3.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.9.2.1.3.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.9.2.1.3.1.2

Kalikan $- 8$ dengan $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 16 x - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.9.2.1.3.1.3

Kalikan $- 16$ dengan $- 8$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 16 x - 16 x + 128) x}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.9.2.1.3.2

Kurangi $16 x$ dengan $16 x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 128) x}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.9.2.1.3.3

Tambahkan $- 2 x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 128) x}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.9.2.1.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 128 x}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.9.2.1.5

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.9.2.1.5.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 128 x}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.9.2.1.5.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.9.2.1.5.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x^{1} x^{2}) + 128 x}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.9.2.1.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 128 x}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.9.2.1.5.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 128 x}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.9.2.2

Kurangi $2 x^{3}$ dengan $2 x^{3}$ .

$\frac{0 + 128 x}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.9.2.3

Tambahkan $0$ dan $128 x$ .

$\frac{128 x}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.9.3

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.9.3.1

Faktorkan $x$ dari $128 x$ .

$\frac{x \cdot 128}{x^{4}}$

Langkah 2.1.2.9.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.9.3.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot 128}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 2.1.2.9.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \cdot 128}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 2.1.2.9.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = \frac{128}{x^{3}}$

Langkah 2.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{128}{x^{3}}$ .

$\frac{128}{x^{3}}$

Langkah 2.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{128}{x^{3}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$\frac{128}{x^{3}} = 0$

Langkah 2.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$128 = 0$

Langkah 2.2.3

Karena $128 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3

Tentukan domain dari $f (x) = \frac{x^{2} + 64}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur penyebut dalam $\frac{x^{2} + 64}{x}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = 0$

Langkah 3.2

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 0}$

Notasi Interval:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 0}$

Langkah 4

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 2) = \frac{128}{{(- 2)}^{3}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{128}{- 8}$

Langkah 5.2.2

Bagilah $128$ dengan $- 8$ .

$f'' (- 2) = - 16$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 16$ .

$- 16$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(- \infty, 0)$ karena $f'' (- 2)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(- \infty, 0)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 6

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (2) = \frac{128}{{(2)}^{3}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (2) = \frac{128}{8}$

Langkah 6.2.2

Bagilah $128$ dengan $8$ .

$f'' (2) = 16$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $16$ .

$16$

Langkah 6.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(0, \infty)$ karena $f'' (2)$ positif.

Cekung ke atas pada $(0, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 7

Grafiknya cekung ke bawah ketika turunan keduanya negatif dan cekung ke atas ketika turunan keduanya positif.

Cekung ke bawah pada $(- \infty, 0)$ karena $f'' (x)$ negatif

Cekung ke atas pada $(0, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 8