Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{x + 1} + \sin (x)$ , $x = 0$

Langkah 1

Mempertimbangkan fungsi yang digunakan untuk mencari linearisasi di $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Langkah 2

Substitusikan nilai $a = 0$ ke dalam fungsi linearisasinya.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

Langkah 3

Evaluasi $f (0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = \sqrt{(0) + 1} + \sin (0)$

Langkah 3.2

Sederhanakan $\sqrt{(0) + 1} + \sin (0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$\sqrt{(0) + 1} + \sin (0)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\sqrt{1} + \sin (0)$

Langkah 3.2.2.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$1 + \sin (0)$

Langkah 3.2.2.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 3.2.3

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 4

Tentukan turunannya dan evaluasi pada $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan dari $f (x) = \sqrt{x + 1} + \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sqrt{x + 1} + \sin (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x + 1}$ sebagai ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 4.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 4.1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 4.1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 4.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 4.1.2.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 4.1.2.6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 4.1.2.7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 4.1.2.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 4.1.2.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 4.1.2.9.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 4.1.2.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 4.1.2.11

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 4.1.2.12

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 4.1.2.13

Kalikan $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 4.1.2.14

Pindahkan ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 4.1.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \cos (x)$

Langkah 4.2

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{1}{2 {((0) + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \cos (0)$

Langkah 4.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1.1

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}} + \cos (0)$

Langkah 4.3.1.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{2 \cdot 1} + \cos (0)$

Langkah 4.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} + \cos (0)$

Langkah 4.3.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1}{2} + 1$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Langkah 4.3.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1 + 2}{2}$

Langkah 4.3.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{3}{2}$

Langkah 5

Substitusikan komponen-komponen ke dalam fungsi linearisasi untuk mencari linearisasi pada $a$ .

$L (x) = 1 + \frac{3}{2} (x - 0)$

Langkah 6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kurangi $0$ dengan $x$ .

$L (x) = 1 + \frac{3}{2} x$

Langkah 6.2

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $x$ .

$L (x) = 1 + \frac{3 x}{2}$

Langkah 7