Kalkulus Contoh

$y = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ , $[0, 2]$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} = 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pindahkan $\frac{e^{- x}}{2}$ ke sisi kanan persamaan dengan menguranginya dari kedua ruas.

$\frac{e^{x}}{2} = - \frac{e^{- x}}{2}$

Langkah 1.2.2

Karena pernyataan pada setiap sisi persamaan mempunyai penyebut yang sama, maka pembilangnya harus sama.

$e^{x} = - e^{- x}$

Langkah 1.2.3

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2

Sederhanakan $\frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{- x})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Langkah 2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{x}$ .

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Langkah 2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{- x}$ .

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

Langkah 3

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} d x - \int_{0}^{2} 0 d x$

Langkah 4

Integralkan untuk menghitung luas antara $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - (0) d x$

Langkah 4.2

Kurangi $0$ dengan $\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$ .

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} d x$

Langkah 4.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} d x + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

Langkah 4.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{x} d x + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

Langkah 4.5

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

Langkah 4.6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{- x} d x$

Langkah 4.7

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 4.7.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 4.7.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 4.7.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Langkah 4.7.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 4.7.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

Langkah 4.7.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Langkah 4.7.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Langkah 4.7.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u$

Langkah 4.8

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

Langkah 4.9

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} (- (e^{u}]_{0}^{- 2}))$

Langkah 4.10

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{u}]_{0}^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2}}{2}$

Langkah 4.11

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.1

Evaluasi $e^{x}$ pada $2$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0}) - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2}}{2}$

Langkah 4.11.2

Evaluasi $e^{u}$ pada $- 2$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0}) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

Langkah 4.11.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.3.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1 \cdot 1) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

Langkah 4.11.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

Langkah 4.11.3.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{e^{- 2} - 1 \cdot 1}{2}$

Langkah 4.11.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

Langkah 4.11.3.5

Untuk menuliskan $\frac{1}{2} (e^{2} - 1)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

Langkah 4.11.3.6

Gabungkan $\frac{1}{2} (e^{2} - 1)$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot 2}{2} - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

Langkah 4.11.3.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot 2 - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Langkah 4.11.3.8

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{2}{2} (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Langkah 4.11.3.9

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.3.9.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{2}{2} (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Langkah 4.11.3.9.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Langkah 4.11.3.10

Kalikan $e^{2} - 1$ dengan $1$ .

$\frac{e^{2} - 1 - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Langkah 5

Jumlahkan luas $\frac{e^{2} - 1 - (e^{- 2} - 1)}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{2} - 1 - (\frac{1}{e^{2}} - 1)}{2}$

Langkah 5.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{2} - 1 - \frac{1}{e^{2}} - - 1}{2}$

Langkah 5.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{e^{2} - 1 - \frac{1}{e^{2}} + 1}{2}$

Langkah 5.1.4

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$\frac{e^{2} - \frac{1}{e^{2}} + 0}{2}$

Langkah 5.1.5

Tambahkan $e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$ dan $0$ .

$\frac{e^{2} - \frac{1}{e^{2}}}{2}$

Langkah 5.1.6

Tulis kembali $e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.6.1

Tulis kembali $\frac{1}{e^{2}}$ sebagai ${(\frac{1}{e})}^{2}$ .

$\frac{e^{2} - {(\frac{1}{e})}^{2}}{2}$

Langkah 5.1.6.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = e$ dan $b = \frac{1}{e}$ .

$\frac{(e + \frac{1}{e}) (e - \frac{1}{e})}{2}$

Langkah 5.1.7

Untuk menuliskan $e$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{e}{e}$ .

$\frac{(\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}) (e - \frac{1}{e})}{2}$

Langkah 5.1.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{e e + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Langkah 5.1.9

Kalikan $e e$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.9.1

Naikkan $e$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Langkah 5.1.9.2

Naikkan $e$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e^{1} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Langkah 5.1.9.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{e^{1 + 1} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Langkah 5.1.9.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Langkah 5.1.10

Untuk menuliskan $e$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{e}{e}$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} (\frac{e e}{e} - \frac{1}{e})}{2}$

Langkah 5.1.11

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e e - 1}{e}}{2}$

Langkah 5.1.12

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.12.1

Kalikan $e e$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.12.1.1

Naikkan $e$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1} e - 1}{e}}{2}$

Langkah 5.1.12.1.2

Naikkan $e$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1} e^{1} - 1}{e}}{2}$

Langkah 5.1.12.1.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1 + 1} - 1}{e}}{2}$

Langkah 5.1.12.1.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{2} - 1}{e}}{2}$

Langkah 5.1.12.2

Tulis kembali $e^{2} - 1$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.12.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{2} - 1^{2}}{e}}{2}$

Langkah 5.1.12.2.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = e$ dan $b = 1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{2}$

Langkah 5.2

Kalikan $\frac{e^{2} + 1}{e}$ dengan $\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) ((e + 1) (e - 1))}{e e}}{2}$

Langkah 5.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $e$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1} e}}{2}$

Langkah 5.3.2

Naikkan $e$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1} e^{1}}}{2}$

Langkah 5.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1 + 1}}}{2}$

Langkah 5.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}}}{2}$

Langkah 5.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 5.5

Gabungkan.

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1) \cdot 1}{e^{2} \cdot 2}$

Langkah 5.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Kalikan $e^{2} + 1$ dengan $1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2} \cdot 2}$

Langkah 5.6.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2}$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{2 e^{2}}$

Langkah 6