Kalkulus Contoh

$y = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Langkah 1

Tetapkan $y$ sebagai fungsi dari $x$ .

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Langkah 2

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 2.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Langkah 2.4

Susun kembali suku-suku.

$- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Langkah 3

Atur turunan tersebut ahar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $2 \sin (x)$ dari $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $2 \sin (x)$ dari $- 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \sin (x) (- \cos (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Langkah 3.1.2

Faktorkan $2 \sin (x)$ dari $- 2 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) (- \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Langkah 3.1.3

Faktorkan $2 \sin (x)$ dari $2 \sin (x) (- \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ .

$2 \sin (x) (- \cos (x) - 1) = 0$

Langkah 3.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 3.3

Atur $\sin (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Atur $\sin (x)$ sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

Langkah 3.3.2

Selesaikan $\sin (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (0)$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.3.2.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - 0$

Langkah 3.3.2.4

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = π$

Langkah 3.3.2.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.3.2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 3.3.2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 3.3.2.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 3.3.2.6

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.4

Atur $- \cos (x) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $- \cos (x) - 1$ sama dengan $0$ .

$- \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $- \cos (x) - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$- \cos (x) = 1$

Langkah 3.4.2.2

Bagi setiap suku pada $- \cos (x) = 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- \cos (x) = 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Langkah 3.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Langkah 3.4.2.2.2.2

Bagilah $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{- 1}$

Langkah 3.4.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.3.1

Bagilah $1$ dengan $- 1$ .

$\cos (x) = - 1$

Langkah 3.4.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Langkah 3.4.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.4.1

Nilai eksak dari $\arccos (- 1)$ adalah $π$ .

$x = π$

Langkah 3.4.2.5

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = 2 π - π$

Langkah 3.4.2.6

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$x = π$

Langkah 3.4.2.7

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.4.2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 3.4.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 3.4.2.7.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 3.4.2.8

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $2 \sin (x) (- \cos (x) - 1) = 0$ benar.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.6

Gabungkan jawabannya.

$x = π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Selesaikan fungsi asal $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ pada $x = π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

$f (π) = 2 \cos (π) + \cos^{2} (π)$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (π) = 2 (- \cos (0)) + \cos^{2} (π)$

Langkah 4.2.1.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (π) = 2 (- 1 \cdot 1) + \cos^{2} (π)$

Langkah 4.2.1.3

Kalikan $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (π) = 2 \cdot - 1 + \cos^{2} (π)$

Langkah 4.2.1.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (π) = - 2 + \cos^{2} (π)$

Langkah 4.2.1.4

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (π) = - 2 + {(- \cos (0))}^{2}$

Langkah 4.2.1.5

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (π) = - 2 + {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Langkah 4.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (π) = - 2 + {(- 1)}^{2}$

Langkah 4.2.1.7

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (π) = - 2 + 1$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $- 2$ dan $1$ .

$f (π) = - 1$

Langkah 4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1$ .

$- 1$

Langkah 5

Garis tangen datar pada fungsi $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ adalah $y = x = π n, y = - 1$ .

$y = x = π n, y = - 1$

Langkah 6