Kalkulus Contoh

$y = x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 11$

Langkah 1

Tetapkan $y$ sebagai fungsi dari $x$ .

$f (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 11$

Langkah 2

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 11$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$3 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 11$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 11 x$ terhadap $x$ adalah $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 8 x - 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 x^{2} + 8 x - 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 11$ dengan $1$ .

$3 x^{2} + 8 x - 11 + \frac{d}{d x} [11]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $11$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $11$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 x^{2} + 8 x - 11 + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $3 x^{2} + 8 x - 11$ dan $0$ .

$3 x^{2} + 8 x - 11$

Langkah 3

Atur turunan tersebut ahar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $3 x^{2} + 8 x - 11 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 3 \cdot - 11 = - 33$ dan yang jumlahnya adalah $b = 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Faktorkan $8$ dari $8 x$ .

$3 x^{2} + 8 (x) - 11 = 0$

Langkah 3.1.1.2

Tulis kembali $8$ sebagai $- 3$ ditambah $11$

$3 x^{2} + (- 3 + 11) x - 11 = 0$

Langkah 3.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$3 x^{2} - 3 x + 11 x - 11 = 0$

Langkah 3.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(3 x^{2} - 3 x) + 11 x - 11 = 0$

Langkah 3.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$3 x (x - 1) + 11 (x - 1) = 0$

Langkah 3.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $x - 1$ .

$(x - 1) (3 x + 11) = 0$

Langkah 3.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

$3 x + 11 = 0$

Langkah 3.3

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 3.4

Atur $3 x + 11$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $3 x + 11$ sama dengan $0$ .

$3 x + 11 = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $3 x + 11 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Kurangkan $11$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x = - 11$

Langkah 3.4.2.2

Bagi setiap suku pada $3 x = - 11$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = - 11$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 11}{3}$

Langkah 3.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 11}{3}$

Langkah 3.4.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 11}{3}$

Langkah 3.4.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{11}{3}$

Langkah 3.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 1) (3 x + 11) = 0$ benar.

$x = 1, - \frac{11}{3}$

Langkah 4

Selesaikan fungsi asal $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 11$ pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = {(1)}^{3} + 4 {(1)}^{2} - 11 \cdot 1 + 11$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = 1 + 4 {(1)}^{2} - 11 \cdot 1 + 11$

Langkah 4.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = 1 + 4 \cdot 1 - 11 \cdot 1 + 11$

Langkah 4.2.1.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$f (1) = 1 + 4 - 11 \cdot 1 + 11$

Langkah 4.2.1.4

Kalikan $- 11$ dengan $1$ .

$f (1) = 1 + 4 - 11 + 11$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$f (1) = 5 - 11 + 11$

Langkah 4.2.2.2

Kurangi $11$ dengan $5$ .

$f (1) = - 6 + 11$

Langkah 4.2.2.3

Tambahkan $- 6$ dan $11$ .

$f (1) = 5$

Langkah 4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $5$ .

$5$

Langkah 5

Selesaikan fungsi asal $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 11$ pada $x = - \frac{11}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{11}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (- \frac{11}{3}) = {(- \frac{11}{3})}^{3} + 4 {(- \frac{11}{3})}^{2} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{11}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{11}{3})}^{3} + 4 {(- \frac{11}{3})}^{2} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Langkah 5.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{11}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{11^{3}}{3^{3}}) + 4 {(- \frac{11}{3})}^{2} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Langkah 5.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{11^{3}}{3^{3}} + 4 {(- \frac{11}{3})}^{2} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Langkah 5.2.1.3

Naikkan $11$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{3^{3}} + 4 {(- \frac{11}{3})}^{2} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Langkah 5.2.1.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 {(- \frac{11}{3})}^{2} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Langkah 5.2.1.5

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.5.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{11}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{11}{3})}^{2}) - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Langkah 5.2.1.5.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{11}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{11^{2}}{3^{2}})) - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Langkah 5.2.1.6

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 (1 (\frac{11^{2}}{3^{2}})) - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Langkah 5.2.1.7

Kalikan $\frac{11^{2}}{3^{2}}$ dengan $1$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 (\frac{11^{2}}{3^{2}}) - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Langkah 5.2.1.8

Naikkan $11$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 (\frac{121}{3^{2}}) - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Langkah 5.2.1.9

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 (\frac{121}{9}) - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Langkah 5.2.1.10

Kalikan $4 (\frac{121}{9})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.10.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{121}{9}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{4 \cdot 121}{9} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Langkah 5.2.1.10.2

Kalikan $4$ dengan $121$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484}{9} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Langkah 5.2.1.11

Kalikan $- 11 (- \frac{11}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.11.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 11$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484}{9} + 11 (\frac{11}{3}) + 11$

Langkah 5.2.1.11.2

Gabungkan $11$ dan $\frac{11}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484}{9} + \frac{11 \cdot 11}{3} + 11$

Langkah 5.2.1.11.3

Kalikan $11$ dengan $11$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484}{9} + \frac{121}{3} + 11$

Langkah 5.2.2

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Kalikan $\frac{484}{9}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{121}{3} + 11$

Langkah 5.2.2.2

Kalikan $\frac{484}{9}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{121}{3} + 11$

Langkah 5.2.2.3

Kalikan $\frac{121}{3}$ dengan $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{121}{3} \cdot \frac{9}{9} + 11$

Langkah 5.2.2.4

Kalikan $\frac{121}{3}$ dengan $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{121 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 11$

Langkah 5.2.2.5

Tulis $11$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{121 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{11}{1}$

Langkah 5.2.2.6

Kalikan $\frac{11}{1}$ dengan $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{121 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{11}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Langkah 5.2.2.7

Kalikan $\frac{11}{1}$ dengan $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{121 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{11 \cdot 27}{27}$

Langkah 5.2.2.8

Susun kembali faktor-faktor dari $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{121 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{11 \cdot 27}{27}$

Langkah 5.2.2.9

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{27} + \frac{121 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{11 \cdot 27}{27}$

Langkah 5.2.2.10

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{27} + \frac{121 \cdot 9}{27} + \frac{11 \cdot 27}{27}$

Langkah 5.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{- 1331 + 484 \cdot 3 + 121 \cdot 9 + 11 \cdot 27}{27}$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Kalikan $484$ dengan $3$ .

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{- 1331 + 1452 + 121 \cdot 9 + 11 \cdot 27}{27}$

Langkah 5.2.4.2

Kalikan $121$ dengan $9$ .

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{- 1331 + 1452 + 1089 + 11 \cdot 27}{27}$

Langkah 5.2.4.3

Kalikan $11$ dengan $27$ .

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{- 1331 + 1452 + 1089 + 297}{27}$

Langkah 5.2.5

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1

Tambahkan $- 1331$ dan $1452$ .

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{121 + 1089 + 297}{27}$

Langkah 5.2.5.2

Tambahkan $121$ dan $1089$ .

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{1210 + 297}{27}$

Langkah 5.2.5.3

Tambahkan $1210$ dan $297$ .

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{1507}{27}$

Langkah 5.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1507}{27}$ .

$\frac{1507}{27}$

Langkah 6

Garis tangen datar pada fungsi $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 11$ adalah $y = 5, y = \frac{1507}{27}$ .

$y = 5, y = \frac{1507}{27}$

Langkah 7