Kalkulus Contoh

$y = 4 x + 8 \cos (x)$

Langkah 1

Tetapkan $y$ sebagai fungsi dari $x$ .

$f (x) = 4 x + 8 \cos (x)$

Langkah 2

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x + 8 \cos (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$4 + 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$4 + 8 (- \sin (x))$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$4 - 8 \sin (x)$

Langkah 3

Atur turunan tersebut ahar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $4 - 8 \sin (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 8 \sin (x) = - 4$

Langkah 3.2

Bagi setiap suku pada $- 8 \sin (x) = - 4$ dengan $- 8$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Bagilah setiap suku di $- 8 \sin (x) = - 4$ dengan $- 8$ .

$\frac{- 8 \sin (x)}{- 8} = \frac{- 4}{- 8}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 8 \sin (x)}{- 8} = \frac{- 4}{- 8}$

Langkah 3.2.2.1.2

Bagilah $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 4}{- 8}$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $- 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1.1

Faktorkan $- 4$ dari $- 4$ .

$\sin (x) = \frac{- 4 (1)}{- 8}$

Langkah 3.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1.2.1

Faktorkan $- 4$ dari $- 8$ .

$\sin (x) = \frac{- 4 \cdot 1}{- 4 \cdot 2}$

Langkah 3.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin (x) = \frac{- 4 \cdot 1}{- 4 \cdot 2}$

Langkah 3.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Langkah 3.3

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Langkah 3.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Nilai eksak dari $\arcsin (\frac{1}{2})$ adalah $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Langkah 3.5

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - \frac{π}{6}$

Langkah 3.6

Sederhanakan $π - \frac{π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 3.6.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 3.6.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Langkah 3.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.1

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Langkah 3.6.3.2

Kurangi $π$ dengan $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Langkah 3.7

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 3.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 3.7.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 3.8

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Selesaikan fungsi asal $f (x) = 4 x + 8 \cos (x)$ pada $x = \frac{π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{6}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{6}) = 4 (\frac{π}{6}) + 8 \cos (\frac{π}{6})$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (2) (\frac{π}{6}) + 8 \cos (\frac{π}{6})$

Langkah 4.2.1.1.2

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cdot (2 (\frac{π}{2 \cdot 3})) + 8 \cos (\frac{π}{6})$

Langkah 4.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cdot (2 (\frac{π}{2 \cdot 3})) + 8 \cos (\frac{π}{6})$

Langkah 4.2.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{π}{3}) + 8 \cos (\frac{π}{6})$

Langkah 4.2.1.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 π}{3} + 8 \cos (\frac{π}{6})$

Langkah 4.2.1.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 π}{3} + 8 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 4.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 π}{3} + 2 (4) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 4.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 π}{3} + 2 \cdot (4 (\frac{\sqrt{3}}{2}))$

Langkah 4.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 π}{3} + 4 \sqrt{3}$

Langkah 4.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{2 π}{3} + 4 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 π}{3} + 4 \sqrt{3}$

Langkah 5

Selesaikan fungsi asal $f (x) = 4 x + 8 \cos (x)$ pada $x = \frac{5 π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{5 π}{6}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{5 π}{6}) = 4 (\frac{5 π}{6}) + 8 \cos (\frac{5 π}{6})$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (2) (\frac{5 π}{6}) + 8 \cos (\frac{5 π}{6})$

Langkah 5.2.1.1.2

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cdot (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3})) + 8 \cos (\frac{5 π}{6})$

Langkah 5.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cdot (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3})) + 8 \cos (\frac{5 π}{6})$

Langkah 5.2.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{5 π}{3}) + 8 \cos (\frac{5 π}{6})$

Langkah 5.2.1.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{5 π}{3}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{2 (5 π)}{3} + 8 \cos (\frac{5 π}{6})$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{10 π}{3} + 8 \cos (\frac{5 π}{6})$

Langkah 5.2.1.4

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{10 π}{3} + 8 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Langkah 5.2.1.5

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{10 π}{3} + 8 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 5.2.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.6.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{10 π}{3} + 8 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Langkah 5.2.1.6.2

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{10 π}{3} + 2 (4) (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Langkah 5.2.1.6.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{10 π}{3} + 2 \cdot (4 (\frac{- \sqrt{3}}{2}))$

Langkah 5.2.1.6.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{10 π}{3} + 4 (- \sqrt{3})$

Langkah 5.2.1.7

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{10 π}{3} - 4 \sqrt{3}$

Langkah 5.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{10 π}{3} - 4 \sqrt{3}$ .

$\frac{10 π}{3} - 4 \sqrt{3}$

Langkah 6

Garis tangen datar pada fungsi $f (x) = 4 x + 8 \cos (x)$ adalah $y = \frac{2 π}{3} + 4 \sqrt{3}, y = \frac{10 π}{3} - 4 \sqrt{3}$ .

$y = \frac{2 π}{3} + 4 \sqrt{3}, y = \frac{10 π}{3} - 4 \sqrt{3}$

Langkah 7