Kalkulus Contoh

$x^{2} y^{2} = 9$ , $(- 1, - 3)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = - 1$ dan $y = - 3$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (9)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

Langkah 1.2.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Langkah 1.3

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = 0$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kurangkan $2 y^{2} x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$

Langkah 1.5.2

Bagi setiap suku pada $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ dengan $2 x^{2} y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ dengan $2 x^{2} y$ .

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Langkah 1.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Langkah 1.5.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Langkah 1.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Langkah 1.5.2.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Langkah 1.5.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Langkah 1.5.2.2.3.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Langkah 1.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x^{2} y}$

Langkah 1.5.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2} y$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

Langkah 1.5.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

Langkah 1.5.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x^{2} y}$

Langkah 1.5.2.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $y^{2}$ dan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{x^{2} y}$

Langkah 1.5.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.2.2.1

Faktorkan $y$ dari $x^{2} y$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

Langkah 1.5.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

Langkah 1.5.2.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- y x}{x^{2}}$

Langkah 1.5.2.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.3.1

Faktorkan $x$ dari $- y x$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x^{2}}$

Langkah 1.5.2.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.3.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

Langkah 1.5.2.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

Langkah 1.5.2.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- y}{x}$

Langkah 1.5.2.3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y}{x}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = - 1$ dan $y = - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{y}{- 1}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $- 3$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{- 3}{- 1}$

Langkah 1.7.3

Bagilah $- 3$ dengan $- 1$ .

$- 1 \cdot 3$

Langkah 1.7.4

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 3$

Langkah 2

Garis normalnya tegak lurus dengan garis tangen. Ambil resiprokal negatif dari gradien garis tangen untuk menentukan gradien garis normalnya.

$\frac{1}{3}$

Langkah 3

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan gradien $\frac{1}{3}$ dan titik yang diberikan $(- 1, - 3)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 3) = \frac{1}{3} \cdot (x - (- 1))$

Langkah 3.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y + 3 = \frac{1}{3} \cdot (x + 1)$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan $\frac{1}{3} \cdot (x + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tulis kembali.

$y + 3 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x + 1)$

Langkah 3.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y + 3 = \frac{1}{3} \cdot (x + 1)$

Langkah 3.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y + 3 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot 1$

Langkah 3.3.1.4

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x$ .

$y + 3 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1$

Langkah 3.3.1.5

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$y + 3 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$

Langkah 3.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} - 3$

Langkah 3.3.2.2

Untuk menuliskan $- 3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 3.3.2.3

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3}$

Langkah 3.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{x}{3} + \frac{1 - 3 \cdot 3}{3}$

Langkah 3.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.5.1

Kalikan $- 3$ dengan $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{1 - 9}{3}$

Langkah 3.3.2.5.2

Kurangi $9$ dengan $1$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 8}{3}$

Langkah 3.3.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{x}{3} - \frac{8}{3}$

Langkah 3.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{1}{3} x - \frac{8}{3}$

Langkah 4