Kalkulus Contoh

$y = 4 \sin (π x + y)$ , $(- 1, 0)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = - 1$ dan $y = 0$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (4 \sin (π x + y))$

Langkah 1.2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 \sin (π x + y)$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\sin (π x + y)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (π x + y)]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = π x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $π x + y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x + y])$

Langkah 1.3.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x + y])$

Langkah 1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $π x + y$ .

$4 (\cos (π x + y) \frac{d}{d x} [π x + y])$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $π x + y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 \cos (π x + y) (\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.3.3.2

Karena $π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $π x$ terhadap $x$ adalah $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \cos (π x + y) (π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cos (π x + y) (π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.3.3.4

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$4 \cos (π x + y) (π + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$4 \cos (π x + y) (π + y')$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = 4 \cos (π x + y) (π + y')$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Sederhanakan $4 \cos (π x + y) (π + y')$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y' = 4 \cos (π x + y) π + 4 \cos (π x + y) y'$

Langkah 1.5.1.1.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $4 \cos (π x + y) π + 4 \cos (π x + y) y'$ .

$y' = 4 π \cos (π x + y) + 4 y' \cos (π x + y)$

Langkah 1.5.2

Kurangkan $4 y' \cos (π x + y)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y' - 4 y' \cos (π x + y) = 4 π \cos (π x + y)$

Langkah 1.5.3

Faktorkan $y'$ dari $y' - 4 y' \cos (π x + y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Faktorkan $y'$ dari ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 4 y' \cos (π x + y) = 4 π \cos (π x + y)$

Langkah 1.5.3.2

Faktorkan $y'$ dari $- 4 y' \cos (π x + y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 4 \cos (π x + y)) = 4 π \cos (π x + y)$

Langkah 1.5.3.3

Faktorkan $y'$ dari $y' \cdot 1 + y' (- 4 \cos (π x + y))$ .

$y' (1 - 4 \cos (π x + y)) = 4 π \cos (π x + y)$

Langkah 1.5.4

Bagi setiap suku pada $y' (1 - 4 \cos (π x + y)) = 4 π \cos (π x + y)$ dengan $1 - 4 \cos (π x + y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Bagilah setiap suku di $y' (1 - 4 \cos (π x + y)) = 4 π \cos (π x + y)$ dengan $1 - 4 \cos (π x + y)$ .

$\frac{y' (1 - 4 \cos (π x + y))}{1 - 4 \cos (π x + y)} = \frac{4 π \cos (π x + y)}{1 - 4 \cos (π x + y)}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - 4 \cos (π x + y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (1 - 4 \cos (π x + y))}{1 - 4 \cos (π x + y)} = \frac{4 π \cos (π x + y)}{1 - 4 \cos (π x + y)}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{4 π \cos (π x + y)}{1 - 4 \cos (π x + y)}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 π \cos (π x + y)}{1 - 4 \cos (π x + y)}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = - 1$ dan $y = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{4 π \cos (π (- 1) + y)}{1 - 4 \cos (π (- 1) + y)}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{4 π \cos (π (- 1) + 0)}{1 - 4 \cos (π (- 1) + 0)}$

Langkah 1.7.3

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{4 π \cos (π (- 1) + 0)}{1 - 4 \cos (π (- 1) + 0)}$

Langkah 1.7.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1.1

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{4 π \cos (- 1 \cdot π + 0)}{1 - 4 \cos (π \cdot - 1 + 0)}$

Langkah 1.7.4.1.2

Tulis kembali $- 1 π$ sebagai $- π$ .

$\frac{4 π \cos (- π + 0)}{1 - 4 \cos (π \cdot - 1 + 0)}$

Langkah 1.7.4.2

Tambahkan $- π$ dan $0$ .

$\frac{4 π \cos (- π)}{1 - 4 \cos (π \cdot - 1 + 0)}$

Langkah 1.7.4.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$\frac{4 π (- \cos (0))}{1 - 4 \cos (π \cdot - 1 + 0)}$

Langkah 1.7.4.4

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{4 π (- 1 \cdot 1)}{1 - 4 \cos (π \cdot - 1 + 0)}$

Langkah 1.7.4.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{4 π \cdot - 1}{1 - 4 \cos (π \cdot - 1 + 0)}$

Langkah 1.7.4.6

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{- 4 π}{1 - 4 \cos (π \cdot - 1 + 0)}$

Langkah 1.7.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.1.1

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{- 4 π}{1 - 4 \cos (- 1 \cdot π + 0)}$

Langkah 1.7.5.1.2

Tulis kembali $- 1 π$ sebagai $- π$ .

$\frac{- 4 π}{1 - 4 \cos (- π + 0)}$

Langkah 1.7.5.2

Tambahkan $- π$ dan $0$ .

$\frac{- 4 π}{1 - 4 \cos (- π)}$

Langkah 1.7.5.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$\frac{- 4 π}{1 - 4 (- \cos (0))}$

Langkah 1.7.5.4

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{- 4 π}{1 - 4 (- 1 \cdot 1)}$

Langkah 1.7.5.5

Kalikan $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{- 4 π}{1 - 4 \cdot - 1}$

Langkah 1.7.5.5.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 4 π}{1 + 4}$

Langkah 1.7.5.6

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$\frac{- 4 π}{5}$

Langkah 1.7.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{4 π}{5}$

Langkah 2

Garis normalnya tegak lurus dengan garis tangen. Ambil resiprokal negatif dari gradien garis tangen untuk menentukan gradien garis normalnya.

$\frac{5}{4 π}$

Langkah 3

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan gradien $\frac{5}{4 π}$ dan titik yang diberikan $(- 1, 0)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{5}{4 π} \cdot (x - (- 1))$

Langkah 3.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y + 0 = \frac{5}{4 π} \cdot (x + 1)$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$y = \frac{5}{4 π} \cdot (x + 1)$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan $\frac{5}{4 π} \cdot (x + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{5}{4 π} x + \frac{5}{4 π} \cdot 1$

Langkah 3.3.2.2

Gabungkan $\frac{5}{4 π}$ dan $x$ .

$y = \frac{5 x}{4 π} + \frac{5}{4 π} \cdot 1$

Langkah 3.3.2.3

Kalikan $\frac{5}{4 π}$ dengan $1$ .

$y = \frac{5 x}{4 π} + \frac{5}{4 π}$

Langkah 3.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{5}{4 π} x + \frac{5}{4 π}$

Langkah 4