Kalkulus Contoh

$6 x y + π \sin (y) = 83 π$ , $(4, \frac{7 π}{2})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 4$ dan $y = \frac{7 π}{2}$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (6 x y + π \sin (y)) = \frac{d}{d x} (83 π)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x y + π \sin (y)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x y$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Langkah 1.2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Langkah 1.2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Langkah 1.2.2.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $π \sin (y)$ terhadap $x$ adalah $π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$6 (x y' + y) + π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$6 (x y' + y) + π (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.2.3.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$6 (x y' + y) + π (\cos (u) \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$6 (x y' + y) + π (\cos (y) \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$6 (x y' + y) + π \cos (y) y'$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$6 (x y') + 6 y + π \cos (y) y'$

Langkah 1.2.4.2

Susun kembali suku-suku.

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$

Langkah 1.3

Karena $83 π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $83 π$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y = 0$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$ .

$6 x y' + π y' \cos (y) + 6 y = 0$

Langkah 1.5.2

Kurangkan $6 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$6 x y' + π y' \cos (y) = - 6 y$

Langkah 1.5.3

Faktorkan $y'$ dari $6 x y' + π y' \cos (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Faktorkan $y'$ dari $6 x y'$ .

$y' (6 x) + π y' \cos (y) = - 6 y$

Langkah 1.5.3.2

Faktorkan $y'$ dari $π y' \cos (y)$ .

$y' (6 x) + y' (π \cos (y)) = - 6 y$

Langkah 1.5.3.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (6 x) + y' (π \cos (y))$ .

$y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$

Langkah 1.5.4

Bagi setiap suku pada $y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ dengan $6 x + π \cos (y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Bagilah setiap suku di $y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ dengan $6 x + π \cos (y)$ .

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6 x + π \cos (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Langkah 1.5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 4$ dan $y = \frac{7 π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{6 y}{6 (4) + π \cos (y)}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $\frac{7 π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{6 (\frac{7 π}{2})}{6 (4) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Langkah 1.7.3

Gabungkan $6$ dan $\frac{7 π}{2}$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{6 (4) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Langkah 1.7.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Kalikan $6$ dengan $4$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Langkah 1.7.4.2

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cos (\frac{3 π}{2})}$

Langkah 1.7.4.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cos (\frac{π}{2})}$

Langkah 1.7.4.4

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cdot 0}$

Langkah 1.7.4.5

Kalikan $π$ dengan $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + 0}$

Langkah 1.7.4.6

Tambahkan $24$ dan $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24}$

Langkah 1.7.5

Kalikan $6$ dengan $7$ .

$- \frac{\frac{42 π}{2}}{24}$

Langkah 1.7.6

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.6.1

Kurangi pernyataan $\frac{42 π}{2}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.6.1.1

Faktorkan $2$ dari $42 π$ .

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2}}{24}$

Langkah 1.7.6.1.2

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 (1)}}{24}$

Langkah 1.7.6.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 \cdot 1}}{24}$

Langkah 1.7.6.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{\frac{21 π}{1}}{24}$

Langkah 1.7.6.2

Bagilah $21 π$ dengan $1$ .

$- \frac{21 π}{24}$

Langkah 1.7.7

Hapus faktor persekutuan dari $21$ dan $24$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.7.1

Faktorkan $3$ dari $21 π$ .

$- \frac{3 (7 π)}{24}$

Langkah 1.7.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.7.2.1

Faktorkan $3$ dari $24$ .

$- \frac{3 (7 π)}{3 (8)}$

Langkah 1.7.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{3 (7 π)}{3 \cdot 8}$

Langkah 1.7.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{7 π}{8}$

Langkah 2

Garis normalnya tegak lurus dengan garis tangen. Ambil resiprokal negatif dari gradien garis tangen untuk menentukan gradien garis normalnya.

$\frac{8}{7 π}$

Langkah 3

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan gradien $\frac{8}{7 π}$ dan titik yang diberikan $(4, \frac{7 π}{2})$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{7 π}{2}) = \frac{8}{7 π} \cdot (x - (4))$

Langkah 3.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan $\frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tulis kembali.

$y - \frac{7 π}{2} = 0 + 0 + \frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$

Langkah 3.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$

Langkah 3.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8}{7 π} x + \frac{8}{7 π} \cdot - 4$

Langkah 3.3.1.4

Gabungkan $\frac{8}{7 π}$ dan $x$ .

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} + \frac{8}{7 π} \cdot - 4$

Langkah 3.3.1.5

Kalikan $\frac{8}{7 π} \cdot - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.5.1

Gabungkan $\frac{8}{7 π}$ dan $- 4$ .

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} + \frac{8 \cdot - 4}{7 π}$

Langkah 3.3.1.5.2

Kalikan $8$ dengan $- 4$ .

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 32}{7 π}$

Langkah 3.3.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π}$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $\frac{7 π}{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π} + \frac{7 π}{2}$

Langkah 3.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Untuk menuliskan $- \frac{32}{7 π}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 π}{2}$

Langkah 3.3.3.2

Untuk menuliskan $\frac{7 π}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{7 π}{7 π}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 π}{2} \cdot \frac{7 π}{7 π}$

Langkah 3.3.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $14 π$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.3.1

Kalikan $\frac{32}{7 π}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{7 π \cdot 2} + \frac{7 π}{2} \cdot \frac{7 π}{7 π}$

Langkah 3.3.3.3.2

Kalikan $2$ dengan $7$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{14 π} + \frac{7 π}{2} \cdot \frac{7 π}{7 π}$

Langkah 3.3.3.3.3

Kalikan $\frac{7 π}{2}$ dengan $\frac{7 π}{7 π}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{14 π} + \frac{7 π (7 π)}{2 (7 π)}$

Langkah 3.3.3.3.4

Kalikan $7$ dengan $2$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{14 π} + \frac{7 π (7 π)}{14 π}$

Langkah 3.3.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 32 \cdot 2 + 7 π (7 π)}{14 π}$

Langkah 3.3.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.5.1

Kalikan $- 32$ dengan $2$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 7 π \cdot 7 π}{14 π}$

Langkah 3.3.3.5.2

Kalikan $7$ dengan $7$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 π π}{14 π}$

Langkah 3.3.3.5.3

Kalikan $49 π π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.5.3.1

Naikkan $π$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 (π^{1} π)}{14 π}$

Langkah 3.3.3.5.3.2

Naikkan $π$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 (π^{1} π^{1})}{14 π}$

Langkah 3.3.3.5.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 π^{1 + 1}}{14 π}$

Langkah 3.3.3.5.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 π^{2}}{14 π}$

Langkah 3.3.3.5.4

Tulis kembali $- 64 + 49 π^{2}$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.5.4.1

Tulis kembali $49 π^{2}$ sebagai ${(7 π)}^{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + {(7 π)}^{2}}{14 π}$

Langkah 3.3.3.5.4.2

Tulis kembali $64$ sebagai $8^{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 8^{2} + {(7 π)}^{2}}{14 π}$

Langkah 3.3.3.5.4.3

Susun kembali $- 8^{2}$ dan ${(7 π)}^{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{{(7 π)}^{2} - 8^{2}}{14 π}$

Langkah 3.3.3.5.4.4

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 7 π$ dan $b = 8$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{(7 π + 8) (7 π - 8)}{14 π}$

Langkah 3.3.3.6

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{8}{7 π} x + \frac{(7 π + 8) (7 π - 8)}{14 π}$

Langkah 4