Kalkulus Contoh

$y = 3 \sin (π x - y)$ , $(1, 0)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 1$ dan $y = 0$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 \sin (π x - y))$

Langkah 1.2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 \sin (π x - y)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\sin (π x - y)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (π x - y)]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = π x - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $π x - y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x - y])$

Langkah 1.3.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x - y])$

Langkah 1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $π x - y$ .

$3 (\cos (π x - y) \frac{d}{d x} [π x - y])$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $π x - y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$3 \cos (π x - y) (\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Langkah 1.3.3.2

Karena $π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $π x$ terhadap $x$ adalah $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cos (π x - y) (π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Langkah 1.3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cos (π x - y) (π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Langkah 1.3.3.4

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$3 \cos (π x - y) (π + \frac{d}{d x} [- y])$

Langkah 1.3.3.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \cos (π x - y) (π - \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 \cos (π x - y) (π - y')$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = 3 \cos (π x - y) (π - y')$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Sederhanakan $3 \cos (π x - y) (π - y')$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y' = 3 \cos (π x - y) π + 3 \cos (π x - y) (- y')$

Langkah 1.5.1.1.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$y' = 3 \cos (π x - y) π - 3 \cos (π x - y) y'$

Langkah 1.5.1.1.2.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $3 \cos (π x - y) π - 3 \cos (π x - y) y'$ .

$y' = 3 π \cos (π x - y) - 3 y' \cos (π x - y)$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $3 y' \cos (π x - y)$ ke kedua sisi persamaan.

$y' + 3 y' \cos (π x - y) = 3 π \cos (π x - y)$

Langkah 1.5.3

Faktorkan $y'$ dari $y' + 3 y' \cos (π x - y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Faktorkan $y'$ dari ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 + 3 y' \cos (π x - y) = 3 π \cos (π x - y)$

Langkah 1.5.3.2

Faktorkan $y'$ dari $3 y' \cos (π x - y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (3 \cos (π x - y)) = 3 π \cos (π x - y)$

Langkah 1.5.3.3

Faktorkan $y'$ dari $y' \cdot 1 + y' (3 \cos (π x - y))$ .

$y' (1 + 3 \cos (π x - y)) = 3 π \cos (π x - y)$

Langkah 1.5.4

Bagi setiap suku pada $y' (1 + 3 \cos (π x - y)) = 3 π \cos (π x - y)$ dengan $1 + 3 \cos (π x - y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Bagilah setiap suku di $y' (1 + 3 \cos (π x - y)) = 3 π \cos (π x - y)$ dengan $1 + 3 \cos (π x - y)$ .

$\frac{y' (1 + 3 \cos (π x - y))}{1 + 3 \cos (π x - y)} = \frac{3 π \cos (π x - y)}{1 + 3 \cos (π x - y)}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + 3 \cos (π x - y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (1 + 3 \cos (π x - y))}{1 + 3 \cos (π x - y)} = \frac{3 π \cos (π x - y)}{1 + 3 \cos (π x - y)}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{3 π \cos (π x - y)}{1 + 3 \cos (π x - y)}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 π \cos (π x - y)}{1 + 3 \cos (π x - y)}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 1$ dan $y = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{3 π \cos (π (1) - y)}{1 + 3 \cos (π (1) - y)}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{3 π \cos (π (1) - (0))}{1 + 3 \cos (π (1) - (0))}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1.1

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$\frac{3 π \cos (π - (0))}{1 + 3 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

Langkah 1.7.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{3 π \cos (π + 0)}{1 + 3 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

Langkah 1.7.3.2

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$\frac{3 π \cos (π)}{1 + 3 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

Langkah 1.7.3.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$\frac{3 π (- \cos (0))}{1 + 3 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

Langkah 1.7.3.4

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{3 π (- 1 \cdot 1)}{1 + 3 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

Langkah 1.7.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{3 π \cdot - 1}{1 + 3 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

Langkah 1.7.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{- 3 π}{1 + 3 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

Langkah 1.7.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$\frac{- 3 π}{1 + 3 \cos (π - (0))}$

Langkah 1.7.4.2

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$\frac{- 3 π}{1 + 3 \cos (π)}$

Langkah 1.7.4.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$\frac{- 3 π}{1 + 3 (- \cos (0))}$

Langkah 1.7.4.4

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{- 3 π}{1 + 3 (- 1 \cdot 1)}$

Langkah 1.7.4.5

Kalikan $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{- 3 π}{1 + 3 \cdot - 1}$

Langkah 1.7.4.5.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3}$

Langkah 1.7.4.6

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$\frac{- 3 π}{- 2}$

Langkah 1.7.5

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{3 π}{2}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{3 π}{2}$ dan titik yang diberikan $(1, 0)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{3 π}{2} \cdot (x - (1))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y + 0 = \frac{3 π}{2} \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$y = \frac{3 π}{2} \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan $\frac{3 π}{2} \cdot (x - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{3 π}{2} x + \frac{3 π}{2} \cdot - 1$

Langkah 2.3.2.2

Gabungkan $\frac{3 π}{2}$ dan $x$ .

$y = \frac{3 π x}{2} + \frac{3 π}{2} \cdot - 1$

Langkah 2.3.2.3

Kalikan $\frac{3 π}{2} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.3.1

Gabungkan $\frac{3 π}{2}$ dan $- 1$ .

$y = \frac{3 π x}{2} + \frac{3 π \cdot - 1}{2}$

Langkah 2.3.2.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$y = \frac{3 π x}{2} + \frac{- 3 π}{2}$

Langkah 2.3.2.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{3 π x}{2} - \frac{3 π}{2}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{3 π}{2} x - \frac{3 π}{2}$

Langkah 3