Kalkulus Contoh

$y^{4} - 4 y^{2} = x^{4} - 9 x^{2}$ , $(- 3, - 2)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = - 3$ dan $y = - 2$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y^{4} - 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{4} - 9 x^{2})$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{4} - 4 y^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Langkah 1.2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Langkah 1.2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Langkah 1.2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 y^{3} y' - 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$4 y^{3} y' - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 y^{3} y' - 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$4 y^{3} y' - 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$4 y^{3} y' - 4 (2 y y')$

Langkah 1.2.3.4

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$4 y^{3} y' - 8 y y'$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} - 9 x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Langkah 1.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Langkah 1.3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 x^{3} - 9 (2 x)$

Langkah 1.3.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 9$ .

$4 x^{3} - 18 x$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$4 y^{3} y' - 8 y y' = 4 x^{3} - 18 x$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Faktorkan $4 y y'$ dari $4 y^{3} y' - 8 y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Faktorkan $4 y y'$ dari $4 y^{3} y'$ .

$4 y y' y^{2} - 8 y y' = 4 x^{3} - 18 x$

Langkah 1.5.1.2

Faktorkan $4 y y'$ dari $- 8 y y'$ .

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2 = 4 x^{3} - 18 x$

Langkah 1.5.1.3

Faktorkan $4 y y'$ dari $4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2$ .

$4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 18 x$

Langkah 1.5.2

Bagi setiap suku pada $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 18 x$ dengan $4 y (y^{2} - 2)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Bagilah setiap suku di $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 18 x$ dengan $4 y (y^{2} - 2)$ .

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Langkah 1.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Langkah 1.5.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Langkah 1.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Langkah 1.5.2.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Langkah 1.5.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2} - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Langkah 1.5.2.2.3.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Langkah 1.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Langkah 1.5.2.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Langkah 1.5.2.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 18$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 18 x$ .

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 9 x)}{4 y (y^{2} - 2)}$

Langkah 1.5.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4 y (y^{2} - 2)$ .

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 9 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

Langkah 1.5.2.3.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 9 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

Langkah 1.5.2.3.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 9 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Langkah 1.5.2.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{9 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{9 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = - 3$ dan $y = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 3$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{{(- 3)}^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{9 (- 3)}{2 y (y^{2} - 2)}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{{(- 3)}^{3}}{(- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)} - \frac{9 (- 3)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{- 27}{- 2 ({(- 2)}^{2} - 2)} - \frac{9 (- 3)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Langkah 1.7.3.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{- 27}{- 2 (4 - 2)} - \frac{9 (- 3)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Langkah 1.7.3.2.2

Kurangi $2$ dengan $4$ .

$\frac{- 27}{- 2 \cdot 2} - \frac{9 (- 3)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Langkah 1.7.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$\frac{- 27}{- 4} - \frac{9 (- 3)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Langkah 1.7.3.4

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{27}{4} - \frac{9 (- 3)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Langkah 1.7.3.5

Kalikan $9$ dengan $- 3$ .

$\frac{27}{4} - \frac{- 27}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Langkah 1.7.3.6

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{27}{4} - \frac{- 27}{- 4 ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Langkah 1.7.3.7

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.7.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{27}{4} - \frac{- 27}{- 4 (4 - 2)}$

Langkah 1.7.3.7.2

Kurangi $2$ dengan $4$ .

$\frac{27}{4} - \frac{- 27}{- 4 \cdot 2}$

Langkah 1.7.3.8

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$\frac{27}{4} - \frac{- 27}{- 8}$

Langkah 1.7.3.9

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{8}$

Langkah 1.7.4

Untuk menuliskan $\frac{27}{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{8}$

Langkah 1.7.5

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $8$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.1

Kalikan $\frac{27}{4}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{27}{8}$

Langkah 1.7.5.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\frac{27 \cdot 2}{8} - \frac{27}{8}$

Langkah 1.7.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{27 \cdot 2 - 27}{8}$

Langkah 1.7.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.7.1

Kalikan $27$ dengan $2$ .

$\frac{54 - 27}{8}$

Langkah 1.7.7.2

Kurangi $27$ dengan $54$ .

$\frac{27}{8}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{27}{8}$ dan titik yang diberikan $(- 3, - 2)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = \frac{27}{8} \cdot (x - (- 3))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y + 2 = \frac{27}{8} \cdot (x + 3)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{27}{8} \cdot (x + 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y + 2 = 0 + 0 + \frac{27}{8} \cdot (x + 3)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y + 2 = \frac{27}{8} \cdot (x + 3)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y + 2 = \frac{27}{8} x + \frac{27}{8} \cdot 3$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $\frac{27}{8}$ dan $x$ .

$y + 2 = \frac{27 x}{8} + \frac{27}{8} \cdot 3$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $\frac{27}{8} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Gabungkan $\frac{27}{8}$ dan $3$ .

$y + 2 = \frac{27 x}{8} + \frac{27 \cdot 3}{8}$

Langkah 2.3.1.5.2

Kalikan $27$ dengan $3$ .

$y + 2 = \frac{27 x}{8} + \frac{81}{8}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{81}{8} - 2$

Langkah 2.3.2.2

Untuk menuliskan $- 2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{81}{8} - 2 \cdot \frac{8}{8}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{81}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8}$

Langkah 2.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{81 - 2 \cdot 8}{8}$

Langkah 2.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.5.1

Kalikan $- 2$ dengan $8$ .

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{81 - 16}{8}$

Langkah 2.3.2.5.2

Kurangi $16$ dengan $81$ .

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{65}{8}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{27}{8} x + \frac{65}{8}$

Langkah 3