Kalkulus Contoh

$x \cos (y) = 1$ , $(2, \frac{π}{3})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 2$ dan $y = \frac{π}{3}$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x \cos (y)) = \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \cos (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Kalikan $\cos (y)$ dengan $1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

Langkah 1.2.5.2

Susun kembali suku-suku.

$- x \sin (y) y' + \cos (y)$

Langkah 1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- x \sin (y) y' + \cos (y) = 0$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $- x \sin (y) y' + \cos (y)$ .

$- x y' \sin (y) + \cos (y) = 0$

Langkah 1.5.2

Kurangkan $\cos (y)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x y' \sin (y) = - \cos (y)$

Langkah 1.5.3

Bagi setiap suku pada $- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ dengan $- x \sin (y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Bagilah setiap suku di $- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ dengan $- x \sin (y)$ .

$\frac{- x y' \sin (y)}{- x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Langkah 1.5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Langkah 1.5.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Langkah 1.5.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Langkah 1.5.3.2.3.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Langkah 1.5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$y' = \frac{\cos (y)}{x \sin (y)}$

Langkah 1.5.3.3.2

Pisahkan pecahan.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Langkah 1.5.3.3.3

Konversikan dari $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ ke $\cot (y)$ .

$y' = \frac{1}{x} \cot (y)$

Langkah 1.5.3.3.4

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $\cot (y)$ .

$y' = \frac{\cot (y)}{x}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cot (y)}{x}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 2$ dan $y = \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{\cot (y)}{2}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $\frac{π}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{\cot (\frac{π}{3})}{2}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Nilai eksak dari $\cot (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{2}$

Langkah 1.7.3.2

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{2}$

Langkah 1.7.3.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.3.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{2}$

Langkah 1.7.3.3.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{2}$

Langkah 1.7.3.3.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{2}$

Langkah 1.7.3.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{2}$

Langkah 1.7.3.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Langkah 1.7.3.3.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.3.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Langkah 1.7.3.3.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Langkah 1.7.3.3.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Langkah 1.7.3.3.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.3.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Langkah 1.7.3.3.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{1}}}{2}$

Langkah 1.7.3.3.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{2}$

Langkah 1.7.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 1.7.5

Kalikan $\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.1

Kalikan $\frac{\sqrt{3}}{3}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

Langkah 1.7.5.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{6}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{\sqrt{3}}{6}$ dan titik yang diberikan $(2, \frac{π}{3})$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - (2))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - \frac{π}{3} = 0 + 0 + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} x + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.2.2

Gabungkan $\frac{\sqrt{3}}{6}$ dan $x$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 (3)} \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.2.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.2.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.2.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.2.4

Gabungkan $\frac{\sqrt{3}}{3}$ dan $- 1$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot - 1}{3}$

Langkah 2.3.1.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.3.1.1

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $\sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 1 \cdot \sqrt{3}}{3}$

Langkah 2.3.1.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \sqrt{3}$ sebagai $- \sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- \sqrt{3}}{3}$

Langkah 2.3.1.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $\frac{π}{3}$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{π}{3}$

Langkah 2.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- \sqrt{3} + π}{3}$

Langkah 2.3.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- \sqrt{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- (\sqrt{3}) + π}{3}$

Langkah 2.3.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $π$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- (\sqrt{3}) - 1 (- π)}{3}$

Langkah 2.3.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (\sqrt{3}) - 1 (- π)$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- (\sqrt{3} - π)}{3}$

Langkah 2.3.3.5

Tulis kembali $- (\sqrt{3} - π)$ sebagai $- 1 (\sqrt{3} - π)$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 1 (\sqrt{3} - π)}{3}$

Langkah 2.3.3.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{\sqrt{3} - π}{3}$

Langkah 2.3.3.7

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{\sqrt{3}}{6} x - \frac{\sqrt{3} - π}{3}$

Langkah 3