Kalkulus Contoh

$x^{3} + y^{3} = 6 x y - 1$ , $(3, 2)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 3$ dan $y = 2$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (6 x y - 1)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + y^{3}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x y - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x y$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.3.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.3.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.3.2.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$6 (x y' + y) + 0$

Langkah 1.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$6 (x y') + 6 y + 0$

Langkah 1.3.4.2

Tambahkan $6 x y' + 6 y$ dan $0$ .

$6 x y' + 6 y$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 6 x y' + 6 y$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kurangkan $6 x y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 x y' = 6 y$

Langkah 1.5.2

Kurangkan $3 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y^{2} y' - 6 x y' = 6 y - 3 x^{2}$

Langkah 1.5.3

Faktorkan $3 y'$ dari $3 y^{2} y' - 6 x y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Faktorkan $3 y'$ dari $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 6 x y' = 6 y - 3 x^{2}$

Langkah 1.5.3.2

Faktorkan $3 y'$ dari $- 6 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$

Langkah 1.5.3.3

Faktorkan $3 y'$ dari $3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$

Langkah 1.5.4

Bagi setiap suku pada $3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$ dengan $3 (y^{2} - 2 x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Bagilah setiap suku di $3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$ dengan $3 (y^{2} - 2 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 2 x)}{3 (y^{2} - 2 x)} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y' (y^{2} - 2 x)}{3 (y^{2} - 2 x)} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (y^{2} - 2 x)}{y^{2} - 2 x} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Langkah 1.5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2} - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y^{2} - 2 x)}{y^{2} - 2 x} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Langkah 1.5.4.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Langkah 1.5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $6 y$ .

$y' = \frac{3 (2 y)}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Langkah 1.5.4.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{3 (2 y)}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Langkah 1.5.4.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Langkah 1.5.4.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 3$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Langkah 1.5.4.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Langkah 1.5.4.3.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Langkah 1.5.4.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Langkah 1.5.4.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 3$ dan $y = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{2 y - {(3)}^{2}}{y^{2} - 2 \cdot 3}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{2 (2) - {(3)}^{2}}{{(2)}^{2} - 2 \cdot 3}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{4 - 3^{2}}{2^{2} - 2 \cdot 3}$

Langkah 1.7.3.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 9}{2^{2} - 2 \cdot 3}$

Langkah 1.7.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$\frac{4 - 9}{2^{2} - 2 \cdot 3}$

Langkah 1.7.3.4

Kurangi $9$ dengan $4$ .

$\frac{- 5}{2^{2} - 2 \cdot 3}$

Langkah 1.7.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{- 5}{4 - 2 \cdot 3}$

Langkah 1.7.4.2

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$\frac{- 5}{4 - 6}$

Langkah 1.7.4.3

Kurangi $6$ dengan $4$ .

$\frac{- 5}{- 2}$

Langkah 1.7.5

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{5}{2}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{5}{2}$ dan titik yang diberikan $(3, 2)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{5}{2} \cdot (x - (3))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 2 = \frac{5}{2} \cdot (x - 3)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{5}{2} \cdot (x - 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{5}{2} \cdot (x - 3)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 2 = \frac{5}{2} \cdot (x - 3)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 2 = \frac{5}{2} x + \frac{5}{2} \cdot - 3$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $\frac{5}{2}$ dan $x$ .

$y - 2 = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot - 3$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $\frac{5}{2} \cdot - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Gabungkan $\frac{5}{2}$ dan $- 3$ .

$y - 2 = \frac{5 x}{2} + \frac{5 \cdot - 3}{2}$

Langkah 2.3.1.5.2

Kalikan $5$ dengan $- 3$ .

$y - 2 = \frac{5 x}{2} + \frac{- 15}{2}$

Langkah 2.3.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y - 2 = \frac{5 x}{2} - \frac{15}{2}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{5 x}{2} - \frac{15}{2} + 2$

Langkah 2.3.2.2

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 x}{2} - \frac{15}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 x}{2} - \frac{15}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Langkah 2.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{- 15 + 2 \cdot 2}{2}$

Langkah 2.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.5.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{- 15 + 4}{2}$

Langkah 2.3.2.5.2

Tambahkan $- 15$ dan $4$ .

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{- 11}{2}$

Langkah 2.3.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{5 x}{2} - \frac{11}{2}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{5}{2} x - \frac{11}{2}$

Langkah 3